Calcul vectoriel dans le plan (1re)

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Classe(s) : Séries industrielles - Séries tertiaires | Thème(s) : Calcul vectoriel

A Définitions et constructions

Un vecteur V est défini par une direction, un sens et une norme.

EXEMPLE

Sur la figure, V=AB. La direction est définie par rapport à un axe de référence. Le sens est le sens de A vers B, la norme, notée V (ce qui se lit : norme du vecteur V), est la distance AB. Ici V=AB=3.

12049_Maths_08_01

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme (fig. 1), éventuellement aplati (fig. 2).

Attention à l’ordre des points.

Tableau de 2 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : ; ; ; Ligne 2 : Figure 1; ; Figure 2;

Construire la somme de deux vecteurs

EXEMPLE

On se propose de construire la somme des deux vecteurs u=AB et v=CD.

On place le point E tel que : BE=CD=v (donc CBED est un parallélogramme).

Alors : AE=u+v.

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B Coordonnées d’un vecteur du plan

Repère orthonormé

Le repère (O ; i ; j) est orthonormé si : i=j=1 et i et j sont orthogonaux.

15494_F09_01

Coordonnées d’un vecteur

Le plan est muni du repère orthonormé (O ; i, j).

Pour tout vecteur v, il existe deux nombres réels uniques x et y tels que v=xi+yj. x et y sont les coordonnées du vecteur v.

On note : vxy ou : v(x,y).

Les coordonnées (x, y) du point M dans le repère (O ; i, j) sont les coordonnées du vecteur OM.

EXEMPLE

Le point M a pour coordonnées : (3, 2) ; le vecteur OM a pour coordonnées : (3, 2), OM=3i+2j.

Le point N a pour coordonnées (– 2, 1) ; le vecteur ON a pour coordonnées : (– 2, 1), ON=2i+j.

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Coordonnées d’un vecteur défini par deux points

Soit A et B deux points de coordonnées (xA, yA) et (xB, yB). Alors le vecteur AB a pour coordonnées : (xBxA, yB – yA).

EXEMPLE

Dans l’exemple précédent, on a M(3, 2) et N(– 2, 1), donc NM(3(2),21), NM(5,1).

Coordonnées d’un vecteur somme

Si u(x,y) et u(x,y), alors (u+u)(x+x,y+y).

EXEMPLE

Avec OM(3,2) et ON(2,1), on a : (OM+ON)(32,2+1), (OM+ON)(1,3).

Coordonnées de 12049_Math_244

Si u(x,y) et a est un nombre réel, alors au(ax,ay).

EXEMPLE

Avec AB(4,2), on a : 3AB(12,6).

Coordonnées du milieu I du segment [AB]

IxA+xB2,yA+yB2.

Coordonnées de vecteurs égaux

Soit u(x,y) et u(x,y) deux vecteurs.

u=v si et seulement si : x = x’ et y = y’.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Si u=AB et v=CD, u et v sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues.

– Deux vecteurs u(x,y) et u(x,y) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles : xy=xy.

EXEMPLE

Sur l’exemple de la figure, on a : A(1, 2) et B(5, 4), donc AB(4,2) ; C(– 2, – 1) et D(– 4, – 2), donc CD(2,1). Avec x = 4, y = 2, x’ = – 2, y’ = – 1, xy=42=2 et xy=21=2 ; xy=xy ; les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles. AB et CD sont colinéaires.

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Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé

La norme de u(xy) est : u=x2+y2.

La norme AB est la distance AB.

EXEMPLE

Avec NM(5,1), on obtient NM=NM=52+12=26.

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