Calcul vectoriel dans le plan (1re)

A Définitions et constructions

Un vecteur $\overrightarrow{V}$ est défini par une direction, un sens et une norme.

EXEMPLE

Sur la figure, $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{AB}$. La direction est définie par rapport à un axe de référence. Le sens est le sens de A vers B, la norme, notée $‖\overrightarrow{V}‖$ (ce qui se lit : norme du vecteur $\overrightarrow{V}$), est la distance AB. Ici $‖\overrightarrow{V}‖=AB=3$.

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme (fig. 1), éventuellement aplati (fig. 2).

Construire la somme de deux vecteurs

EXEMPLE

On se propose de construire la somme des deux vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$.

On place le point E tel que : $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}$ (donc CBED est un parallélogramme).

Alors : $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

B Coordonnées d'un vecteur du plan

Repère orthonormé

Le repère (O ; $\overrightarrow{i}$ ; $\overrightarrow{j}$) est orthonormé si : $\Vert \overrightarrow{i}\Vert =\Vert \overrightarrow{j}\Vert =1$ et $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont orthogonaux.

Coordonnées d'un vecteur

Le plan est muni du repère orthonormé (O ; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$).

Pour tout vecteur $\overrightarrow{v}$, il existe deux nombres réels uniques x et y tels que $\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$. x et y sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{v}$.

On note : $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$ ou : $\overrightarrow{v}(x,y)$.

Les coordonnées (x, y) du point M dans le repère (O ; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$) sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{OM}}$.

EXEMPLE

Le point M a pour coordonnées : (3, 2) ; le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées : (3, 2), $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$.

Le point N a pour coordonnées (– 2, 1) ; le vecteur $\overrightarrow{ON}$ a pour coordonnées : (– 2, 1), $\overrightarrow{ON}=–2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$.

Coordonnées d'un vecteur défini par deux points

Soit A et B deux points de coordonnées (x_A, y_A) et (x_B, y_B). Alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : (x_B – x_A, y_B – y_A).

EXEMPLE

Dans l'exemple précédent, on a M(3, 2) et N(– 2, 1), donc $\overrightarrow{NM}(3–(–2),2–1)$, $\overrightarrow{NM}(5,1)$.

Coordonnées d'un vecteur somme

Si $\overrightarrow{u}(x,y)$ et ${\overrightarrow{u}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$, alors $(\overrightarrow{u}+{\overrightarrow{u}}^{\prime })(x+x^{\prime },y+y^{\prime })$.

EXEMPLE

Avec $\overrightarrow{OM}(3,2)$ et $\overrightarrow{ON}(–2,1)$, on a : $(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})(3–2,2+1)$, $(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})(1,3)$.

Coordonnées de

Si $\overrightarrow{u}(x,y)$ et a est un nombre réel, alors $a\overrightarrow{u}(ax,ay)$.

EXEMPLE

Avec $\overrightarrow{AB}(4,2)$, on a : $–3\overrightarrow{AB}(–12,–6)$.

Coordonnées du milieu I du segment [AB]

$I\left(\frac{x_{\text{A}}+x_{\text{B}}}{2},\frac{y_{\text{A}}+y_{\text{B}}}{2}\right)$.

Coordonnées de vecteurs égaux

Soit $\overrightarrow{u}(x,y)$ et ${\overrightarrow{u}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ deux vecteurs.

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ si et seulement si : x = x'et y = y'.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues.

– Deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x,y)$ et ${\overrightarrow{u}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont respectivement proportionnelles : $\frac{x}{y}=\frac{x^{\prime }}{y^{\prime }}$.

EXEMPLE

Sur l'exemple de la figure, on a : A(1, 2) et B(5, 4), donc $\overrightarrow{AB}(4,2)$ ; C(– 2, – 1) et D(– 4, – 2), donc $\overrightarrow{CD}(–2,–1)$. Avec x = 4, y = 2, x'= – 2, y'= – 1, $\frac{x}{y}=\frac{4}{2}=2$ et $\frac{x^{\prime }}{y^{\prime }}=\frac{–2}{–1}=2$ ; $\frac{x}{y}=\frac{x^{\prime }}{y^{\prime }}$ ; les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles. $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Norme d'un vecteur dans un repère orthonormé

La norme de $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$ est : $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$.

EXEMPLE

Avec $\overrightarrow{NM}(5,1)$, on obtient $NM=‖\overrightarrow{NM}‖=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$.