Calculer avec une loi binomiale

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Corpus Corpus 1
Calculer avec une loi binomiale

FB_Bac_98616_MatT_LES_035

35

77

5

Rappels de cours

1&Eacute preuve et sch&eacute ma de Bernoulli

&thinsp Une &eacute preuve de Bernoulli est une exp&eacute rience al&eacute atoire qui ne comporte que deux issues  :

  • le &laquo   succ&egrave s  &raquo , de probabilit&eacute
  • l&rsquo &laquo   &eacute chec  &raquo , de probabilit&eacute .

&thinsp Un sch&eacute ma de Bernoulli est une r&eacute p&eacute tition d&rsquo &eacute preuves de Bernoulli, identiques et ind&eacute pendantes les unes des autres.

2Loi binomiale

&thinsp On dit que la variable al&eacute atoire qui compte le nombre de succ&egrave s dans un sch&eacute ma de Bernoulli &agrave n r&eacute p&eacute titions, suit une loi binomiale de param&egrave tres n et p.

&thinsp La probabilit&eacute d&rsquo obtenir succ&egrave s parmi r&eacute p&eacute titions est  :

o&ugrave est le nombre de fa&ccedil ons d&rsquo obtenir ces succ&egrave s.

&thinsp Les nombres , o&ugrave est un entier strictement positif et un entier tel que sont appel&eacute s coefficients binomiaux.

&thinsp L&rsquo esp&eacute rance de la loi binomiale de param&egrave tres n et p est np.

M&eacute thodes

Justifier l&rsquo utilisation de la loi binomiale

On lance un d&eacute non pip&eacute &agrave 6 faces fois de suite. Justifier que la variable al&eacute atoire qui compte le nombre de 6 obtenus suit une loi binomiale dont on pr&eacute cisera les param&egrave tres.

Conseils

La r&eacute daction doit pr&eacute ciser que les &eacute preuves comportent deux issues, et que les r&eacute p&eacute titions de cette &eacute preuve sont identiques et ind&eacute pendantes les unes des autres.

Solution

&Agrave chaque lancer, il n&rsquo y a que deux issues  : l&rsquo apparition du (le succ&egrave s de probabilit&eacute ) ou sa non-apparition (l&rsquo &eacute chec de probabilit&eacute ). Les lancers successifs sont identiques et ind&eacute pendants les uns des autres.

Donc le nombre de obtenus lors de lancers de ce d&eacute suit une loi binomiale de param&egrave tres et .

Calculer un coefficient binomial avec une calculatrice

On veut calculer qui donne .

&thinsp Avec une TI  : Entre 8 et 3, presser la touche , puis et COMBINAISON, ce qui affiche 8 COMBINAISON 3.

&thinsp Avec une Casio  : Entre 8 et 3, presser la touche , puis et , ce qui affiche .

&thinsp Avec un tableur  : =combin (8  3)

Traduire un &eacute nonc&eacute comportant &laquo   au moins  &raquo

Calculer la probabilit&eacute d&rsquo obtenir au moins une fois le 6 en dix lancers d&rsquo un d&eacute .

Conseils

Le contraire de &laquo   au moins une fois  &raquo est &laquo   aucune fois  &raquo .

Solution

On consid&egrave re l&rsquo &eacute v&eacute nement contraire qui consiste &agrave ne jamais obtenir le 6 en dix lancers, c&rsquo est-&agrave -dire d&rsquo obtenir 0 succ&egrave s en dix r&eacute p&eacute titions  :

.

Ainsi, la probabilit&eacute d&rsquo obtenir au moins une fois le 6 en dix lancers est  :

.

>>