Calculer avec une loi binomiale

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
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Calculer avec une loi binomiale

FB_Bac_98616_MatT_LES_035

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Rappels de cours

1Épreuve et schéma de Bernoulli

 Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues :

  • le « succès », de probabilité  ;
  • l’« échec », de probabilité .

 Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes les unes des autres.

2Loi binomiale

 On dit que la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli à n répétitions, suit une loi binomiale de paramètres n et p.

 La probabilité d’obtenir succès parmi répétitions est :

est le nombre de façons d’obtenir ces succès.

 Les nombres , où est un entier strictement positif et un entier tel que sont appelés coefficients binomiaux.

 L’espérance de la loi binomiale de paramètres n et p est np.

Méthodes

Justifier l’utilisation de la loi binomiale

On lance un dé non pipé à 6 faces fois de suite. Justifier que la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenus suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Conseils

La rédaction doit préciser que les épreuves comportent deux issues, et que les répétitions de cette épreuve sont identiques et indépendantes les unes des autres.

Solution

À chaque lancer, il n’y a que deux issues : l’apparition du (le succès de probabilité ) ou sa non-apparition (l’échec de probabilité ). Les lancers successifs sont identiques et indépendants les uns des autres.

Donc le nombre de obtenus lors de lancers de ce dé suit une loi binomiale de paramètres et .

Calculer un coefficient binomial avec une calculatrice

On veut calculer qui donne .

Avec une TI : Entre 8 et 3, presser la touche , puis et COMBINAISON, ce qui affiche 8 COMBINAISON 3.

Avec une Casio : Entre 8 et 3, presser la touche , puis et , ce qui affiche .

Avec un tableur : =combin (8 ; 3)

Traduire un énoncé comportant « au moins »

Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois le 6 en dix lancers d’un dé.

Conseils

Le contraire de « au moins une fois » est « aucune fois ».

Solution

On considère l’événement contraire qui consiste à ne jamais obtenir le 6 en dix lancers, c’est-à-dire d’obtenir 0 succès en dix répétitions :

.

Ainsi, la probabilité d’obtenir au moins une fois le 6 en dix lancers est :

.

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