Calculer dans un repère

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Coordonnées d'un point du plan. Vecteurs


Rappels de cours

Sauf indication contraire, le plan est muni d’un repère quelconque (O, I, J).

1 Milieu d’un segment

Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points du plan.

Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :

xM=xA+xB2 et yM=yA+yB2

exemple On donne R(2;7) et V(3;1). Le milieu M du segment [RV] a pour coordonnées xM=xR+xV2=2+32=0,5 et yM=yR+yV2=7+(1)2=3.

2 Distance entre deux points

Le repère (O, I, J) est ici orthonormé. Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points du plan. La distance entre A et B est la longueur du segment [AB]. Elle est égale à :

AB=(xBxA)2+(yByA)2

exemple On donne H(2;7) et K(3;5). La longueur HK est égale à :

HK=(xKxH)2+(yKyH)2=(32)2+(57)2=(5)2+(2)2=29.

Méthodes

Déterminer la nature d’un quadrilatère

On donne les points C(4;2), H(3;2), R(3;1) et L(2;3).

Démontrer que CHRL est un parallélogramme.

Conseils

Démontrez que les diagonales de CHRL se coupent en leur milieu.

 

Solution

Le milieu M de [CR] a pour coordonnées :

xM=xC+xR2=4+(3)2=0,5 et yM=yC+yR2=2+(1)2=0,5.

Le milieu N de [LH] a pour coordonnées :

xN=xL+xH2=(2)+32=0,5 et yN=yL+yH2=3+(2)2=0,5.

Comme M et N ont les mêmes coordonnées, ils sont confondus. Les diagonales [CR] et [LH] du quadrilatère CHRL se coupent ainsi en leur milieu. CHRL est donc un parallélogramme.

Déterminer la nature d’un triangle

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(2;2), B(2;1) et C(4;6). Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A et en déduire les coordonnées du centre Ω du cercle circonscrit à ABC.

Conseils

Pensez à utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.

 

Solution

AB=(xBxA)2+(yByA)2=(22)2+(12)2=(4)2+(1)2=17

AC=(xCxA)2+(yCyA)2=(42)2+(62)2=22+(8)2=68

BC=(xCxB)2+(yCyB)2=(4(2))2+(61)2=62+(7)2=85

Comme AB2+AC2=17+68=85=BC2, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. Ω, milieu de l’hypoténuse [BC] a pour coordonnées :

xΩ=xB+xC2=1 et yΩ=yB+yC2=2,5.