Calculer des aires

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Corpus Corpus 1
Calculer des aires

FB_Bac_98617_MatT_S_029

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Rappels de cours

1Relation entre aire et primitive


&Eacute tant donn&eacute une fonction positive sur un intervalle et deux r&eacute els et de tels que , l&rsquo aire du domaine color&eacute est &eacute gale &agrave .

remarques

  • Si est n&eacute gative, l&rsquo aire est &eacute gale &agrave .
  • L&rsquo axe des ordonn&eacute es n&rsquo est pas repr&eacute sent&eacute   : il peut se situer n&rsquo importe o&ugrave pourvu qu&rsquo il soit perpendiculaire &agrave l&rsquo axe des abscisses et dirig&eacute dans ce cas de figure &laquo vers le haut &raquo .

2Unit&eacute s d&rsquo aire

Rappel Le rectangle est un  carr&eacute   lorsque le  rep&egrave re  est orthonorm&eacute .

L'aire s'exprime en unit&eacute s d&rsquo aire (u.a.)  une unit&eacute d&rsquo aire est l&rsquo aire d&rsquo un rectangle dont les c&ocirc t&eacute s ont les longueurs de et de .


Si on veut exprimer l&rsquo aire en , par exemple, il est n&eacute cessaire de conna&icirc tre les mesures des vecteurs et en cm.

3Aire comprise entre deux courbes

&Agrave noter ! On prend toujours la  plus  grande &laquo   valeur  &raquo moins la plus petite &laquo   valeur &raquo .

L&rsquo aire &laquo   sandwich  &raquo du  domaine hachur&eacute est  &eacute gale &agrave   :


M&eacute thode

Calculer une aire entre une courbe et son asymptote


On consid&egrave re la fonction d&eacute finie sur  par  :

1.  Montrer que la droite d&rsquo &eacute quation est asymptote &agrave en .

2.  Interpr&eacute ter le domaine color&eacute et calculer la limite de son aire quand tend vers .

Conseil

2.  La figure repr&eacute sente la courbe et son asymptote d&rsquo &eacute quation.

Solution

1.  Pour tout , .

On a .

Donc . C&rsquo est pourquoi la droite d&rsquo &eacute quation est asymptote &agrave en .

Il s&rsquo agit d&rsquo une aire &laquo   sandwich  &raquo .

2. Le domaine color&eacute est compris entre la courbe et son asymptote. Son aire est donc &eacute gale &agrave   :

En effet, est de la forme .

Comme , l&rsquo aire tend vers quand

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