Calculer des aires

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration
Corpus Corpus 1
Calculer des aires

FB_Bac_98617_MatT_S_029

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Rappels de cours

1Relation entre aire et primitive


Étant donné une fonction positive sur un intervalle et deux réels et de tels que , l’aire du domaine coloré est égale à .

remarques

  • Si est négative, l’aire est égale à .
  • L’axe des ordonnées n’est pas représenté : il peut se situer n’importe où pourvu qu’il soit perpendiculaire à l’axe des abscisses et dirigé dans ce cas de figure « vers le haut ».

2Unités d’aire

Rappel Le rectangle est un carré lorsque le repère est orthonormé.

L'aire s'exprime en unités d’aire (u.a.) ; une unité d’aire est l’aire d’un rectangle dont les côtés ont les longueurs de et de .


Si on veut exprimer l’aire en , par exemple, il est nécessaire de connaître les mesures des vecteurs et en cm.

3Aire comprise entre deux courbes

À noter ! On prend toujours la plus grande « valeur » moins la plus petite « valeur ».

L’aire « sandwich » du domaine hachuré est égale à :


Méthode

Calculer une aire entre une courbe et son asymptote


On considère la fonction définie sur  par :

1. Montrer que la droite d’équation est asymptote à en .

2. Interpréter le domaine coloré et calculer la limite de son aire quand tend vers .

Conseil

2. La figure représente la courbe et son asymptote d’équation.

Solution

1. Pour tout , .

On a .

Donc . C’est pourquoi la droite d’équation est asymptote à en .

Il s’agit d’une aire « sandwich ».

2. Le domaine coloré est compris entre la courbe et son asymptote. Son aire est donc égale à :

En effet, est de la forme .

Comme , l’aire tend vers quand

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