Calculer des limites de fonctions exponentielles

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Corpus Corpus 1
Calculer des limites de fonctions exponentielles

FB_Bac_98617_MatT_S_018

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Rappels de cours

1Limites usuelles


 et 

On en déduit que la courbe de la fonction exponentielle a une asymptote horizontale, l’axe des abscisses, en .

 Ci-contre est représentée la fonction exponentielle avec les tangentes aux points d’abscisses 0 (d’équation )

et 1 (d’équation ).

2Formes indéterminées

 Soit un nombre réel.

 et 

À noter ! N’importe quelle
puissance de est négligeable
devant en et en .

En particulier, en posant , on a .

Ces résultats résolvent les formes indéterminées «  » et «  ».

(>fiche19)

3Limites de fonctions composées avec la fonction exp

Soit une fonction et un point ou une borne de .

Pour calculer , il suffit de trouver .

  • Si cette limite est , alors .

Méthode

Déterminer les limites et une asymptote d’une fonction

Soit la fonction définie sur par .

1. Trouver les limites de en et en .

2. Démontrer que la droite d’équation est asymptote à la courbe en .

Conseils

1. En , factorisez et, en , utilisez les formes indéterminées connues.

2. Calculez .

Solution

1. • Quand  :

et car .

On a donc la forme indéterminée « ».

Pour tout non nul :.

Or et donc par produit.

Comme , on a : .

Comme , on en déduit que par produit.

  • Quand  :

et .

On a donc la forme indéterminée «  ».

et puisque .

On en déduit : par somme.

De plus, , donc par somme.

2..

La droite est donc asymptote à en .

remarque On peut démontrer que n’a pas d’asymptote en .

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