Calculer des limites de fonctions logarithmes

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Corpus Corpus 1
Calculer des limites de fonctions logarithmes

FB_Bac_98617_MatT_S_023

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Rappels de cours

1Limites usuelles

attention !

n’a pas de limite quand

et


Ci-contre, la courbe représente la fonction logarithme avec les tangentes aux points d’abscisses 1 (d’équation ) et e (d’équation ).

2Formes indéterminées

 Soit un réel strictement positif :

 et 

remarque On peut interpréter la première limite de la façon suivante :

est négligeable devant toute puissance positive de en .

En particulier, en posant , on a

et (>fiche24)

3Calculs de limites de fonctions composées avec la fonction

Soit une fonction strictement positive sur un ensemble de définition et un point ou une borne de .

Pour calculer , il suffit de trouver .

  • Si cette limite est , alors .

Méthode

Déterminer les limites d’une fonction

Trouver les limites de aux bornes de avec

Conseil

Pour lever l’indétermination, il suffit de modifier l’écriture de l’expression « bloquante » afin de se ramener à une forme indéterminée connue comme ou .

Solution
  • Pour que existe, il faut et il suffit que et , c’est-à-dire et .

Un rapide tableau de signes pour fournit immédiatement .

  • Quand , on se ramène à une forme indéterminée connue en posant  (et dans ce cas, on a ).

Alors .

Donc .

Attention !
Notez la différence entre  et  !

De même, .

  • Quand , on a et donc .

Donc par produit.

  • Quand , on a :

rappel

.

Comme et , alors par soustraction.

  • Bilan :

 ;  ; .

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