Calculer des longueurs, des aires et des volumes

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Géométrie dans l'espace


Méthodes

Calculer une longueur

02909_F36_01

Dans la pyramide SABCD à base rectangulaire, H est le centre du rectangle ABCD et (SH) est perpendiculaire à (BD) et (AC).

On donne CD=12cm, BC=9cmet SA=SB=SC=SD=8,5 cm.

Calculer SH.

Conseils

Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer HD puis SH.

 

Solution

Dans le triangle BCD rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore : BD2=BC2+CD2=92+122=225 et comme BD  0, BD=225=15 cm. H est le centre de ABCD, donc H est le milieu de [BD] et HD=7,5 cm.

Dans le triangle SHD rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore : SD2=SH2+HD2.

Ainsi SH2=SD2HD2=8,527,52=16 et SH=4 cm.

Calculer une aire

02909_F36_02

Les deux cônes de révolution de rayons KA et BI sont opposés par leur sommet S. Les droites (AB) et (KI) se coupent en S et les droites (BI) et (AK) sont parallèles. (BI) et (IK) sont perpendiculaires. On donne : KA=4,5cm, SK=6cm et SI=4cm. Calculer la longueur BI, puis l’aire latérale cumulée des deux cônes (bases exclues).

Conseils

Appliquez le théorème de Thalès avec les triangles BSI et SKA, puis calculez les longueurs des segments [SB] et [SA].

 

Solution

Les droites (AB) et (KI) sont sécantes en S et les droites (BI) et (AK) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

SASB=SKSI=KABI.

Par conséquent, BI=KA×SISK=4,5×46=3cm.

Dans le triangle BIS rectangle en I, d’après le théorème de Pythagore : BS2=BI2+IS2=32+42=25 et BS=5cm.

Avec les égalités de rapports précédentes, on en déduit :

SA=SK×SBSI=6×54=7,5cm.

Finalement, l’aire latérale cumulée des deux cônes est :

π×BI×SB+π×KA×SA=π×3×5+π×4,5×7,5=48,75πcm2.

Calculer un volume

02909_F36_03

On considère la boule de centre O dont le rayon [SO] mesure 3 cm, le cube ABCDEFGH d’arête 6 cm et la pyramide SEFGH de hauteur 3 cm et de base le carré EFGH. Ces solides sont placés dans le pavé droit ABCDIJKL de hauteur 15 cm dont la base est le carré ABCD.

Peut-on verser dans ce récipient 20 cl d’eau sans que cela ne déborde ?

Conseils

Calculez le volume de chaque solide.

 

Solution

Volume (boule) = 43π×OS3=43π×33=36πcm3.

Volume (ABCDEFGH) = AB3=63=216cm3.

Volume (SEFGH) = 13×EF2×hauteur=13×62×3=36cm3.

Le volume du pavé droit est AB2×AI=62×15=540cm3.

Ce récipient a une capacité de 5402163636π 175cm3. Or 20 cl correspondent à 200cm3. L’eau va donc déborder.