Calculer des périmètres

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Calculer avec des grandeurs mesurables


Rappels de cours

Formules donnant les principaux périmètres

Figure usuelle

Dimensions

Périmètre

Carré

côté a

4a

Rectangle

longueur L

et largeur l

2(L+l)

Cercle

rayon r

diamètre d

2×π×r

ou encore π×d

Polygone quelconque

Somme des mesures de tous les côtés

Méthodes

Calculer le périmètre d’une pelouse

Monsieur Dujardin aime beaucoup les formes géométriques. Devant sa maison il a créé une pelouse dont voici un plan sommaire.

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Le quadrilatère ABCD est un rectangle de longueur AB = 24 m et de largeur AD = 15 m.

C1, C2 et C3 sont trois demi-cercles de diamètres respectifs [AD], [BC] et [AB].

Monsieur Dujardin souhaite enclore sa pelouse. Quelle longueur de clôture doit-il acheter ? (Donner la valeur exacte puis un arrondi au mètre près.)

conseils

Calculez les périmètres de chacun des trois demi-cercles… et n’oubliez pas [CD] !

 

Solution

Notons p1, p2, p3 les périmètres respectifs des demi-cercles C1, C2 et C3. Le périmètre p de la pelouse est tel que :

p=p1+p2+p3+CD.

Le périmètre d’un cercle de rayon r mesure 2×π×r, donc le périmètre d’un demi-cercle de rayon r mesure π×r.

Nous avons p=π×AD2+π×BC2+π×AB2+CD ou encore

p=π×152+π×152+π×242+24,

soit p=27×π+24 mètres ou, arrondi au mètre près, p=109 m.

Conclusion : Monsieur Dujardin devra acheter 109 m de clôture.

Calculer le périmètre d’un octogone régulier

Soit F un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon 10 cm. Calculer la mesure exacte du périmètre de cet octogone. En donner ensuite une valeur approchée au mm près.

conseils

Calculez la mesure de l’angle AOB^ puis celle de l’angle AOI^ et enfin, à l’aide de la trigonométrie, la mesure de la distance AI. Déduisez-en la mesure d’un côté de l’octogone, puis la mesure du périmètre de la figure F.

 

Solution

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Puisque l’octogone F est régulier, ses 8 côtés ont la même mesure.

On a : AOB^=360°8=45° et OA=10 cm. Le triangle AOB est isocèle en O, donc (OI) est bissectrice de l’angle AOB^ et médiatrice du segment [AB].

En conséquence, AOI^=AOB^2=22,5° et AI=AB2.

Dans le triangle AOI, nous avons sinAOI^=AIOA,

soit sin22,5°=AI10 et AB=20×sin22,5°.

Notons p le périmètre de l’octogone régulier ABCDEFGH.

Alors p=8×AB et p=160×sin22,5° est la valeur exacte de son périmètre.

p=61,2 cm en est une valeur arrondie au millimètre.