Calculer des probabilités avec des matrices

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Corpus Corpus 1
Calculer des probabilit&eacute s avec  des  matrices

FB_Bac_98617_MatT_S_061

61

127

6

Rappels de cours

1Marche al&eacute atoire et matrice de transition


&thinsp On consid&egrave re un processus al&eacute atoire mod&eacute lis&eacute par le graphe ci-dessous.

Si &agrave une &eacute tape quelconque le processus est dans l&rsquo &eacute tat , alors, &agrave l&rsquo &eacute tape suivante, il sera dans l&rsquo &eacute tat  :

  • avec la probabilit&eacute
  • avec la probabilit&eacute
  • avec la probabilit&eacute

On raisonne de m&ecirc me pour les &eacute tats et .

&agrave noter ! Ce mod&egrave le est g&eacute n&eacute ralisable &agrave n dimensions.

&thinsp Cette situation se r&eacute sume par la matrice suivante, construite colonne par colonne et appel&eacute e matrice de transition (les lettres sont indiqu&eacute es pour m&eacute moire)  :

Dans une matrice de transition, tous les coefficients sont compris entre 0 et 1 et la somme d&rsquo une colonne quelconque est &eacute gale &agrave 1.

&agrave noter !

&thinsp Notons la matrice-colonne des probabilit&eacute s du processus &agrave l&rsquo &eacute tape (la  probabilit&eacute que le processus soit dans l&rsquo &eacute tat par exemple est ).

On a alors .

2Limites de suites de matrices

Dire qu&rsquo une matrice dont les coefficients d&eacute pendent de converge signifie que chacun de ses coefficients a une limite finie quand tend vers .

th&eacute or&egrave mes

&agrave noter !

repr&eacute sente un  &eacute tat stable  du  processus.

1.  Soit une matrice de transition. Il existe une matrice-colonne dont les coefficients sont positifs, de  somme 1 et telle que

2.  Si la suite converge, alors sa limite est .

th&eacute or&egrave me&ensp Soit et deux matrices. Si la suite de matrices v&eacute rifiant la relation converge, alors sa limite est une matrice v&eacute rifiant .

M&eacute thode

Mod&eacute liser la d&eacute mographie d&rsquo une ville avec des matrices


Chaque ann&eacute e, dans une r&eacute gion dont la population est globalement constante, 5  % des citadins d&eacute cident d&rsquo aller habiter &agrave la campagne et 1  % des ruraux deviennent urbains.

Trouver la matrice de transition M et la matrice de l&rsquo &eacute tat stable C.

Solution
  • La matrice de transition s&rsquo &eacute crit colonne par colonne ainsi  :

  • Cherchons C pour que MC =C.

&agrave noter ! L&rsquo &eacute tat stable est ind&eacute pendant de
l&rsquo &eacute tat initial.

La r&eacute solution conduit &agrave et .

&Agrave terme, il y aurait d&rsquo urbains et de ruraux.

>>