Calculer des probabilités avec des matrices

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
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Calculer des probabilités avec des matrices

FB_Bac_98617_MatT_S_061

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Rappels de cours

1Marche aléatoire et matrice de transition


 On considère un processus aléatoire modélisé par le graphe ci-dessous.

Si à une étape quelconque le processus est dans l’état , alors, à l’étape suivante, il sera dans l’état :

  • avec la probabilité ;
  • avec la probabilité ;
  • avec la probabilité ;

On raisonne de même pour les états et .

à noter ! Ce modèle est généralisable à n dimensions.

 Cette situation se résume par la matrice suivante, construite colonne par colonne et appelée matrice de transition (les lettres sont indiquées pour mémoire) :

Dans une matrice de transition, tous les coefficients sont compris entre 0 et 1 et la somme d’une colonne quelconque est égale à 1.

à noter !

 Notons la matrice-colonne des probabilités du processus à l’étape (la probabilité que le processus soit dans l’état par exemple est ).

On a alors .

2Limites de suites de matrices

Dire qu’une matrice dont les coefficients dépendent de converge signifie que chacun de ses coefficients a une limite finie quand tend vers .

théorèmes

à noter !

représente un état stable du processus.

1. Soit une matrice de transition. Il existe une matrice-colonne dont les coefficients sont positifs, de somme 1 et telle que

2. Si la suite converge, alors sa limite est .

théorème Soit et deux matrices. Si la suite de matrices vérifiant la relation converge, alors sa limite est une matrice vérifiant .

Méthode

Modéliser la démographie d’une ville avec des matrices


Chaque année, dans une région dont la population est globalement constante, 5 % des citadins décident d’aller habiter à la campagne et 1 % des ruraux deviennent urbains.

Trouver la matrice de transition M et la matrice de l’état stable C.

Solution
  • La matrice de transition s’écrit colonne par colonne ainsi :

  • Cherchons C pour que MC =C.

à noter ! L’état stable est indépendant de
l’état initial.

La résolution conduit à et .

À terme, il y aurait d’urbains et de ruraux.

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