Calculer des probabilités dans des contextes familiers

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser les probabilités


Rappels de cours

1 Événement contraire

Soit E un événement. On note E¯ l’événement contraire de E.

Alors on a : p(E)+p(E¯)=1.

2 Somme des probabilités

► L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire est appelé univers.

► Considérons tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, la somme de leurs probabilités de réalisation est égale à 1.

exemple On lance un dé bien équilibré. Soit A1 l’événement « obtenir 1 », A2 l’événement « obtenir 2 », etc.

Puisque le dé est équilibré, la probabilité de chaque événement est donc égale à 16, et on a :

p(A1)+p(A2)+p(A3)+p(A4)+p(A5)+p(A6)=6×16=1.

Méthodes

Calculer la probabilité d’obtenir un couple particulier

Un grand clapier abrite 5 lapins : 3 femelles et 2 mâles. On sort simultanément au hasard 2 lapins du clapier. On obtient alors une paire de lapins.

1. Combien de paires différentes de lapins peut-on sortir ?

2. Calculer la probabilité de sortir :

a. 2 mâles

b. 2 femelles

c. 2 lapins de sexes différents

conseils

Dénombrez bien toutes les paires différentes que l’on peut sortir.

 

Solution

1. Notons M1 et M2 les deux lapins mâles. Notons F1, F2 et F3 les trois lapins femelles.

Les 10 paires différentes que l’on peut sortir du clapier sont :

(F1, F2), (F1, F3), (F2, F3), (M1, M2), (F1, M1), (F1, M2), (F2, M1), (F2, M2), (F3, M1) et (F3, M2).

2. a. Appelons A l’événement : « sortir 2 lapins mâles ». Il n’y a qu’un seul résultat favorable à l’obtention de l’événement A : la paire (M1, M2).

Donc p(A)=110, soit p(A)=0,1.

b. Appelons B l’événement : « sortir 2 lapins femelles ». Il y a trois résultats favorables à l’obtention de l’événement B : (F1, F2), (F1, F3) et (F2, F3). Donc p(B)=310, soit p(B)=0,3.

à noter ! Vous pouvez aussi calculer directement la probabilité p(C).

Pour vérifier, assurez-vous que p(A)+p(B)+p(C)=1.

c. Appelons C l’événement : « sortir 2 lapins de sexes différents ».

On a p(A)+p(B)+p(C)=1.

Alors p(C)=1p(A)p(B),

soit p(C)=10,10,3=0,6.

Calculer une probabilité avec une pièce de monnaie truquée

On dispose d’une pièce de monnaie truquée dont la probabilité d’obtenir « pile » est le triple de la probabilité d’obtenir « face ». Calculer lors d’un lancer :

a. la probabilité d’obtenir « face »

b. la probabilité d’obtenir « pile »

Solution

Notons p(P) et p(F) les probabilités respectives d’obtenir « pile » ou « face » lorsqu’on lance la pièce truquée. D’après l’énoncé, nous savons que p(P)=3p(F) et que p(P)+p(F)=1.

a. En combinant les deux équations, nous avons :

3p(F)+p(F)=1, soit 4p(F)=1 ou encore p(F)=14.

b. 1re méthode : Puisque p(P)=3p(F), alors p(P)=34.

2e méthode : On peut aussi considérer que l’événement « obtenir pile » est l’événement contraire de l’événement « obtenir face ». Par conséquent :

p(P)=1p(F)=114, d’où p(P)=34.