Calculer des volumes

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Calculer avec des grandeurs mesurables


Rappels de cours

Formules donnant les principaux volumes

Cube

98891_fiche_30_doc_01

arête c

𝒱 = c3

Parallélépipède rectangle

98891_fiche_30_doc_02

longueur L, largeur l, hauteur h

𝒱 = L×l×h

Prisme droit

98891_fiche_30_doc_03

base d’aire B,

hauteur h

𝒱 = B×h

Cylindre de révolution

98891_fiche_30_doc_04

base de rayon r,

hauteur h

𝒱 = π×r2×h

Pyramide ou cône de révolution

98891_fiche_30_doc_05

base d’aire B,

hauteur h

𝒱 = 13×B×h

Boule (ou sphère)

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rayon r

𝒱 = 43×π×r3

Méthodes

Trouver une relation entre deux rayons

On considère une boule de rayon R et un cône de révolution dont la base a pour rayon x et dont la hauteur mesure R.

a. Exprimer les volumes de la boule et du cône.

b. Sachant que la boule et le cône ont le même volume, calculer, en fonction de R, le rayon x de la base du cône.

Solution

a. Le volume de la boule est : V1=43×π×R3.

Le volume du cône est : V2=13×(π×x2)×R.

b. Les deux solides ayant même volume, nous avons donc : V1=V2, soit 13×(π×x2)×R=43×π×R3.

Donc 13×π×R×(x2)=13×π×R×(4R2).

En simplifiant, nous obtenons : x2=4R2.

Comme x et R sont des longueurs, ce sont des nombres positifs et nous avons : x=2R.

Calculer le volume d’un seau

96239_fiche_23_doc_01

Un seau a la forme d’un tronc de cône.

Les deux bases circulaires sont parallèles et ont pour diamètres [AB] et [A′ B′ ] et pour centres respectifs O et O′ . On donne AB=12 cm, SO=24 cm et SO′ =8 cm.

a. Calculer la longueur du segment [O′ A′ ].

b. Calculer le volume V du seau à 1 cm3 près.

conseils

a. Appliquez le théorème de Thalès pour trouver la distance OA.

b. Calculez le volume des deux cônes de sommet S, puis déduisez-en le volume du tronc de cône.

 

Solution

a. Les rayons [OA] et [O′ A′ ] sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès. On obtient : O′ A′ OA=SO′ SO.

Comme OA=AB2=122 = 6, nous avons O′ A′ 6=824, soit O′ A′ =8×624 ou encore O′ A′ =2 cm.

b.V=13×π×OA2×SO13×π×O′ A′ 2×SO′

V=13×π×62×2413×π×22×8

V=8323π, soit V=871 cm3 à 1 cm3 près.