Calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Corpus Corpus 1
Calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

FB_Bac_98616_MatT_LES_004

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Rappels de cours

1Somme des termes d’une suite géométrique

Soit une suite géométrique, de raison , différente de 1.

La sommedetermes consécutifs (premier terme ) d’une telle suite est :

En particulier, si le premier terme est 1, et si  :

2Limite d’une somme de termes d’une suite géométrique

Si , alors : 

Méthodes

Calculer une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

Calculer la somme .

Conseils

Si la somme à calculer est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique, il suffit de connaître trois quantités : le premier terme, la raison, le nombre de termes dans cette somme.

Solution

Chaque terme est de la forme , en commençant par , avec une raison . Le premier terme étant , et le dernier étant , cette somme contient donc vingt termes :

car .

Calculer une somme

Calculer la somme .

Conseils

Les dénominateurs sont des puissances de 4, cela permet de faire le lien avec une suite géométrique. Ensuite, on procède comme précédemment.

Solution

Les dénominateurs sont des puissances de  :

 ;  ; … ;  ;

ce qui permet d’écrire :

.

Ainsi, il s’agit de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison , le premier terme de cette somme étant .

Puisque cette somme comprend 7 termes, on a :

.

Calculer une limite

Calculer la limite de la somme quand n tend vers .

Conseils

La formule de calcul de limite donnée plus haut ne s’applique qu’aux suites géométriques dont la raison est strictement comprise entre et .

On peut remarquer que de telles suites, bien qu’étant strictement croissantes, n’ont pas pour limite .

Solution

.

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