Calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Corpus Corpus 1
Calculer la somme des termes cons&eacute cutifs d&rsquo une suite g&eacute om&eacute trique

FB_Bac_98616_MatT_LES_004

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Rappels de cours

1Somme des termes d&rsquo une suite g&eacute om&eacute trique

Soit une suite g&eacute om&eacute trique, de raison , diff&eacute rente de 1.

La sommedetermes cons&eacute cutifs (premier terme ) d&rsquo une telle suite est  :

En particulier, si le premier terme est 1, et si   :

2Limite d&rsquo une somme de termes d&rsquo une suite g&eacute om&eacute trique

Si , alors  :&ensp

M&eacute thodes

Calculer une somme de termes cons&eacute cutifs d&rsquo une  suite  g&eacute om&eacute trique

Calculer la somme .

Conseils

Si la somme &agrave calculer est une somme de termes cons&eacute cutifs d&rsquo une suite g&eacute om&eacute trique, il suffit de conna&icirc tre trois quantit&eacute s  : le premier terme, la raison, le nombre de termes dans cette somme.

Solution

Chaque terme est de la forme , en commen&ccedil ant par , avec une raison . Le premier terme &eacute tant , et le dernier &eacute tant , cette somme contient donc vingt termes  :

car&ensp .

Calculer une somme

Calculer la somme .

Conseils

Les d&eacute nominateurs sont des puissances de 4, cela permet de faire le lien avec une suite g&eacute om&eacute trique. Ensuite, on proc&egrave de comme pr&eacute c&eacute demment.

Solution

Les d&eacute nominateurs sont des puissances de   :

  &hellip  

ce qui permet d&rsquo &eacute crire  :

.

Ainsi, il s&rsquo agit de termes cons&eacute cutifs d&rsquo une suite g&eacute om&eacute trique de raison , le premier terme de cette somme &eacute tant .

Puisque cette somme comprend 7 termes, on a  :

.

Calculer une limite

Calculer la limite de la somme quand n tend vers .

Conseils

La formule de calcul de limite donn&eacute e plus haut ne s&rsquo applique qu&rsquo aux suites g&eacute om&eacute triques dont la raison est strictement comprise entre et .

On peut remarquer que de telles suites, bien qu&rsquo &eacute tant strictement croissantes, n&rsquo ont pas pour limite .

Solution

.

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