Fiche de révision

Calculer un angle en utilisant la trigonométrie

Contenu

En bref La trigonométrie permet de connaître la valeur d'un angle dans un triangle rectangle lorsque l'on connaît la longueur de certains côtés. La calculatrice permet de trouver une valeur exacte ou approchée de cet angle.

ICalculer un angle

Pour calculer un angle, on cherche d'abord, selon les données de l'exercice à traiter, son sinus, son cosinus ou sa tangente.

Puis on utilise la calculatrice pour trouver la valeur de l'angle.

Conseil

Utilise les rapports trigonométriques.

IIUtiliser la calculatrice

Sur la calculatrice, on appuie sur la touche pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_7 ou pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_8, puis sur l'une des touches pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_9 , pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_10 , pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_11 selon le cas.

Exemple : Dans le triangle ABC rectangle en A, on a AB = 3 cm et BC = 6 cm. On veut calculer la valeur approchée à un degré près de l'angle ACB^.

07829_C09_Fig38

On identifie les côtés donnés : [AB] est le côté opposé à l'angle ACB^ et [BC] est l'hypoténuse.

On va donc écrire le sinus de l'angle :

sinACB^=ABBC=36=12.

Les touches pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_12 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_13 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_14 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_15 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_16 donnent 30. L'angle ACB^mesure 30°.

À NOTER

Dans cet exemple, la valeur de l'angle est une valeur exacte.

Méthode

Calculer un angle en utilisant la trigonométrie

On considère le triangle SAB tracé ci-dessous. Ce triangle vérifie :

AB = 13, SA = 5 et SB = 12.

La figure n'est pas en vraie grandeur.

07829_chap09_fig16

1 Démontrer que le triangle SAB est rectangle en S.

2 Déterminer la mesure de l'angle SAB^ (arrondie au degré).

3 Déterminer la mesure de l'angle SBA^ (arrondie au degré).

Conseils

1 Utilise la réciproque du théorème de Pythagore.

2 Tu connais la longueur des trois côtés. Repère le côté adjacent ou le côté opposé à l'angle SAB^.

3 Utilise la propriété concernant la somme des angles d'un triangle.

Solution

1 On calcule les carrés des longueurs des trois côtés. On obtient :

AB2 = 132 = 169, SA2 = 52 = 25 et SB2 = 122 = 144.

On additionne les carrés des deux longueurs les plus petites :

SA2 + SB2 = 25 + 144 = 169.

Or AB2 = 169. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SAB est rectangle en S.

2 Le côté opposé à l'angle SAB^ est [SB] et l'hypoténuse est [AB]. Donc :

sinSAB^=SBAB=1213.

Les touches pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_0 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_1 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_2 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_3 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_4 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_5 pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_6 donnent 67° (valeur arrondie au degré). L'angle SAB^ mesure 67°.

3 La somme des angles d'un triangle est égale à 180°. Donc :

SAB^+SBA^+ASB^=180°

67°+SBA^+90°=180°

SBA^=180°67°90°

SBA^=23°.

L'angle SBA^ mesure 23°.

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