Fiche de révision

Calculer un angle en utilisant la trigonométrie

Troisième Mathématiques Utiliser la géométrie plane pour démontrer

En bref La trigonométrie permet de connaître la valeur d'un angle dans un triangle rectangle lorsque l'on connaît la longueur de certains côtés. La calculatrice permet de trouver une valeur exacte ou approchée de cet angle.

ICalculer un angle

Pour calculer un angle, on cherche d'abord, selon les données de l'exercice à traiter, son sinus, son cosinus ou sa tangente.

Puis on utilise la calculatrice pour trouver la valeur de l'angle.

Conseil

Utilise les rapports trigonométriques.

IIUtiliser la calculatrice

Sur la calculatrice, on appuie sur la touche pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_7 ou , puis sur l'une des touches , , selon le cas.

Exemple : Dans le triangle ABC rectangle en A, on a AB = 3 cm et BC = 6 cm. On veut calculer la valeur approchée à un degré près de l'angle $\hat{ACB}$ .

07829_C09_Fig38

On identifie les côtés donnés : [AB] est le côté opposé à l'angle $\hat{ACB}$ et [BC] est l'hypoténuse.

On va donc écrire le sinus de l'angle :

$\sin \hat{ACB} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Les touches pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_12 donnent 30. L'angle $\hat{ACB}$ mesure 30°.

À NOTER

Dans cet exemple, la valeur de l'angle est une valeur exacte.

Méthode

Calculer un angle en utilisant la trigonométrie

On considère le triangle SAB tracé ci-dessous. Ce triangle vérifie :

AB = 13, SA = 5 et SB = 12.

La figure n'est pas en vraie grandeur.

07829_chap09_fig16

1 Démontrer que le triangle SAB est rectangle en S.

2 Déterminer la mesure de l'angle $\hat{SAB}$ (arrondie au degré).

3 Déterminer la mesure de l'angle $\hat{SBA}$ (arrondie au degré).

Conseils

1 Utilise la réciproque du théorème de Pythagore.

2 Tu connais la longueur des trois côtés. Repère le côté adjacent ou le côté opposé à l'angle $\hat{SAB}$ .

3 Utilise la propriété concernant la somme des angles d'un triangle.

Solution

1 On calcule les carrés des longueurs des trois côtés. On obtient :

AB² = 13² = 169, SA² = 5² = 25 et SB² = 12² = 144.

On additionne les carrés des deux longueurs les plus petites :

SA² + SB² = 25 + 144 = 169.

Or AB² = 169. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SAB est rectangle en S.

2 Le côté opposé à l'angle $\hat{SAB}$ est [SB] et l'hypoténuse est [AB]. Donc :

$\sin \hat{SAB} = \frac{SB}{AB} = \frac{12}{13}$ .

Les touches pb_bvt_07829_maths3_p203-236_C09_Figure_cadre_0 donnent 67° (valeur arrondie au degré). L'angle $\hat{SAB}$ mesure 67°.

3 La somme des angles d'un triangle est égale à 180°. Donc :

$\hat{SAB} + \hat{SBA} + \hat{ASB} = 180 °$

$67 ° + \hat{SBA} + 90° = 180 °$

$\hat{SBA} = 180 ° - 67 ° - 90 °$

$\hat{SBA} = 23 °$ .

L'angle $\hat{SBA}$ mesure 23°.

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