Calculer un produit scalaire

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Produit scalaire dans le plan
Corpus Corpus 1
Calculer un produit scalaire

FB_Bac_99063_Mat1_S_032

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Rappels de cours

1 Définition par les normes

? Soit un vecteur du plan.

La norme du vecteur notée est la longueur du vecteur

Pour deux points et du plan, on a?:

Dans un repère orthonormé du plan, avec

? Soient et deux vecteurs du plan.

Le produit scalaire des vecteurs et noté est défini par?:

En particulier, pour trois points et du plan?:

2 Produit scalaire avec la trigonométrie

Le produit scalaire de deux vecteurs et est donné par?:

En particulier, pour trois points distincts et du plan?:

3 Produit scalaire avec les projections


 

4 Produit scalaire avec un repère

Dans un repère orthonormé du plan, le produit scalaire des vecteurs et est donné par?:

Méthodes

Calculer un produit scalaire à l’aide des normes

Soit un triangle tel que et

Calculer le produit scalaire .

Solution

Calculer un produit scalaire dans un repère

Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points et . Calculer le produit scalaire .

Solution

et

Ainsi .

Calculer un angle à l’aide du produit scalaire

Soient les points A, B et C de la méthode précédente.

Déterminer, au degré près, la mesure de l’angle

Conseils

Calculez les distances et , puis utilisez la formule avec le cosinus pour déterminer la mesure d’angle demandée.

Solution

On a alors?:

Donc?:

Ainsi

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