Calculer une aire

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Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Corpus Corpus 1
Calculer une aire

FB_Bac_98616_MatT_LES_026

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Rappels de cours


Soit et deux fonctions continues sur un intervalle , repr&eacute sent&eacute es par leurs courbes et dans un rep&egrave re orthogonal, telles que pour tout de , .

L&rsquo aire, exprim&eacute e en unit&eacute s d&rsquo aire (en abr&eacute g&eacute u.a.), du domaine d&eacute limit&eacute par , et les droites d&rsquo &eacute quations et , est &eacute gale &agrave   :

M&eacute thodes

Exprimer une aire avec la bonne unit&eacute

On consid&egrave re la fonction d&eacute finie par  :

,

repr&eacute sent&eacute e par sa courbe dans un rep&egrave re orthogonal d&rsquo unit&eacute s graphiques sur et sur .

Calculer l&rsquo aire , exprim&eacute e en , du domaine d&eacute limit&eacute par , l&rsquo axe et les droites d&rsquo &eacute quations et .

Conseils
  • Une int&eacute grale est un nombre r&eacute el sans dimension (pouvant &ecirc tre positif ou n&eacute gatif), alors qu&rsquo une aire est toujours positive et s&rsquo exprime avec une unit&eacute (unit&eacute d&rsquo aire, cm2&hellip ).
  • Attention &agrave bien respecter la consigne  : calcul d&rsquo int&eacute grale ou calcul d&rsquo aire  ? Si c&rsquo est une aire, on l&rsquo exprime avec la bonne unit&eacute . Si le rep&egrave re est pr&eacute cis&eacute sans unit&eacute s graphiques, on utilisera les unit&eacute s d&rsquo aire (u.a.).
  • La valeur exacte de l&rsquo aire sera toujours privil&eacute gi&eacute e, suivie si besoin d&rsquo une valeur approch&eacute e, en indiquant la pr&eacute cision utilis&eacute e.
Solution

Puisque est positive sur   :

Or, (rectangle de c&ocirc t&eacute s et ), donc une valeur exacte de l&rsquo aire demand&eacute e est aussi  :

.

Une valeur approch&eacute e est , arrondie au centi&egrave me pr&egrave s.

Calculer une aire entre deux courbes

Soit les fonctions et d&eacute finies par et , repr&eacute sent&eacute es par leurs courbes et dans un rep&egrave re orthogonal.

V&eacute rifier que pour tout de [1  4],.

Ensuite, calculer la valeur exacte de l&rsquo aire, exprim&eacute e en u.a., du domaine d&eacute limit&eacute par les courbes , et les droites d&rsquo &eacute quations et .

Conseils

Lors d&rsquo un calcul d&rsquo aire entre deux courbes, il n&rsquo est pas n&eacute cessaire que les deux fonctions soient positives. Le sens de la soustraction &eacute tant important, on v&eacute rifie que la diff&eacute rence est toujours positive.

Solution

Pour tout de [1  4], .

Or, sur [1  4], , donc on a bien  :

.

L&rsquo aire, exprim&eacute e en u.a., du domaine d&eacute limit&eacute par , et les droites d&rsquo &eacute quations et , est donn&eacute e par l&rsquo int&eacute grale  :

L&rsquo aire du domaine, en u.a., est .

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