Calculer une dérivée

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Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Dérivation
Corpus Corpus 1
Calculer une dérivée

FB_Bac_99063_Mat1_S_007

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Rappels de cours

1 Définition

Une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert si est dérivable en tout réel de Dans ce cas, la fonction qui à tout réel? de associe est appelée fonction dérivée ou dérivéede et est notée

exemple?La fonction carrée est dérivable sur . En effet, pour tous réels et et, quand tend vers?0, tend vers Sa dérivée est ainsi la fonction qui à tout réel associe

2 Opérations sur les dérivées

Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle ouvert et leurs fonctions dérivées respectives.

? La somme est dérivable sur et sa dérivée est?: 

exemple?Soit définie sur par est la somme de la fonction cube et de la fonction identité. Comme ces fonctions usuelles sont dérivables sur , l’est également et, pour tout réel

? Le produit est dérivable sur et sa dérivée est?:

À noter?!

Si k est un nombre réel, alors .

conséquence Toute fonction polynôme est dérivable sur .

À noter?!

? Le quotient est dérivable sur à condition que ne s’annule pas sur et sa dérivée est?: 

conséquence Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est dérivable sur chaque intervalle inclus dans son ensemble de définition.

Méthodes

Calculer la dérivée d’un produit

Déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur par

Conseils

Utilisez la formule

Solution

La fonction est le produit des fonctions et définies sur par et Ces fonctions sont dérivables sur (fonctions polynômes) et leurs dérivées et sont définies sur ? par et

Ainsi, est dérivable sur ? et pour tout réel ?:

Calculer la dérivée d’un quotient

Déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur par

Conseils

Utilisez la formule

Solution

La fonction est une fonction rationnelle, quotient des fonctions et définies sur par et Ces fonctions sont dérivables sur (fonctions polynômes) et leurs dérivées et sont données pour tout réel par et

Par conséquent, est dérivable sur et (condition et pour tout réel

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