En bref En classe de quatrième, on a défini le cosinus d'un angle dans un triangle rectangle. La trigonométrie donne d'autres rapports de longueur, notamment le sinus et la tangente d'un angle.

IRapports trigonométriques

1 Reconnaître les côtés d'un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle :

l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est aussi le côté le plus long ;

un angle aigu est formé par l'hypoténuse et un autre côté du triangle appelé côté adjacent à l'angle ;

le côté du triangle qui n'est pas un côté de l'angle est appelé côté opposé à l'angle.

2 Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle aigu

Soit ABC un triangle rectangle en A. On a :

$\begin{array}{c}\cos \hat{\text{B}}=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\frac{\text{BA}}{\text{BC}}\\ \sin \hat{\text{B}}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\frac{\text{AC}}{\text{BC}}\\ \tan \hat{\text{B}}=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}=\frac{\text{AC}}{\text{BA}}\end{array}$

IICalculer une longueur en utilisant la trigonométrie

Si dans un triangle rectangle on connaît un angle et une longueur, on peut calculer les deux autres longueurs.

Pour tous nombres x, b et c non nuls, on a :

$\sin x=\frac{b}{c}\text{équivaut à }c\times \sin x=b\text{ équivaut à }c=\frac{b}{\sin x}$.

Exemple : $\sin 30°=\frac{3}{c}$ équivaut à c × sin 30° = 3 soit $c=\frac{3}{\sin 30°}$. La calculatrice donne c = 6.

Méthode

Calculer une longueur en utilisant la trigonométrie

1 RST est un triangle rectangle en S tel que $\widehat{\text{RTS}}$ = 57° et RS = 19 cm.

Calculer la longueur ST et donner le résultat arrondi au millimètre près.

La figure n'est pas en vraie grandeur.

2 ABC est un triangle tel que AB = 4 cm et $\widehat{\text{ABC}}$ = 50°. (AH) est la hauteur issue de A.

Calculer la longueur AH et en donner un arrondi au cm.

Conseils

1 Tu connais le côté opposé à l'angle $\widehat{\text{RTS}}$ et tu cherches son côté adjacent. Utilise l'un des rapports trigonométriques dans lequel figure les côtés adjacent et opposé.

L'arrondi au dixième est le nombre le plus proche avec un seul chiffre après la virgule.

2 Explique pourquoi le triangle ABH est rectangle en H. Tu connais l'angle $\widehat{\text{ABH}}$. Utilise un rapport trigonométrique.

Solution

1 On cherche le côté adjacent à l'angle $\widehat{\text{RTS}}$. On utilise pour cela la tangente de cet angle. On a $\tan \widehat{\text{RTS}}=\frac{\text{RS}}{\text{ST}}$ ou encore ST × tan 57° = RS.

On en déduit ST = $\frac{19}{\tan 57°}$.

Un arrondi de ST au millimètre près est 12,3 cm.

2 (AH) est la hauteur issue de A, donc (AH) est perpendiculaire à (BC). Le triangle ABH est rectangle en H. On a : sin $\widehat{\text{ABH}}=\frac{\text{AH}}{\text{AB}}$. Donc AH = 4 × sin 50°. Un arrondi de AH au cm près est 3 cm.