En bref Thalès de Milet est un mathématicien grec qui vécu au VI^e siècle av. J.-C. Il a mis en évidence ce que l'on appelle maintenant une configuration de Thalès, c'est-à-dire deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.

ILe théorème de Thalès

Soit deux droites $D$ et $D$′ sécantes en A. Soit B et M deux points de $D$ distincts de A. Soit C et N deux points de $D$′ distincts de A.

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : $\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AC}}=\frac{\text{MN}}{\text{BC}}$

Il y a deux configurations possibles :

IICalculer une longueur

Après avoir vérifié les conditions d'application du théorème de Thalès, on écrit les rapports égaux. On remplace ensuite par les longueurs connues. On utilise le produit en croix pour calculer les longueurs manquantes.

Exemple :

On veut calculer les longueurs HG et EG. $D$ et $D$′ sont sécantes en E. (HG) et (FI) sont parallèles. Les points H et I appartiennent à $D$ et les points F et G appartiennent à $D$′. On applique le théorème de Thalès :

$\frac{\text{EH}}{\text{EI}}=\frac{\text{EG}}{\text{EF}}=\frac{\text{HG}}{\text{IF}}$. On remplace les longueurs connues : $\frac{\text{4}}{\text{6}}=\frac{\text{EG}}{\text{7,5}}=\frac{\text{HG}}{\text{9}}$.

À l'aide du produit en croix, on obtient :

EG = (4 × 7,5) ÷ 6 = 5 et HG = (4 × 9) ÷ 6 = 6.

Méthode

Calculer une longueur

Sur la figure ci-dessous, les droites (BC) et (MN) sont parallèles. On donne :

AB = 4,5 cm ; AC = 3 cm ; AN = 4,8 cm et MN = 6,4 cm.

Calculer les longueurs AM et BC.

Conseils

Trouve deux droites sécantes en A coupées par deux parallèles pour appliquer le théorème de Thalès. Écris sur le dessin la longueur de chaque segment. Trouve les trois rapports égaux et remplace les longueurs connues.

Vérifie que les trois côtés d'un même triangle sont écrits au numérateur des trois rapports égaux.

Solution

Les droites (AM) et (AN) sont sécantes en A. Les points M et B appartiennent à la droite (AM). Les points C et N appartiennent à la droite (AN). Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

On applique le théorème de Thalès :

$\frac{\text{AB}}{\text{AM}}=\frac{\text{AC}}{\text{AN}}=\frac{\text{BC}}{\text{MN}}$.

On remplace par les longueurs connues :

$\frac{\text{4,5}}{\text{AM}}=\frac{\text{3}}{\text{4,8}}=\frac{\text{BC}}{\text{6,4}}$.

À l'aide du produit en croix, on obtient :

AM = (4,5 × 4,8) ÷ 3 = 7,2 et BC = (3 × 6,4) ÷ 4,8 = 4.