Calculer vectoriellement dans un repère

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Corpus Corpus 1
Calculer vectoriellement dans un repère

FB_Bac_98617_MatT_S_049

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Rappels de cours

1Vecteurs colinéaires et coplanaires


 Sur la figure ci-contre, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.

Le triplet est donc un repère du plan .

 En général, dire que trois vecteurs , et sont coplanaires signifie qu’il existe deux nombres et tels que .

2Repères de l’espace

 Un repère de l’espace est un quadruplet constitué d’un point et de trois vecteurs non coplanaires, par exemple .

 Pour tout point de l’espace, il existe trois nombres uniques , et tels que .

, et sont respectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote de ou du vecteur .

remarques

  • Si les trois vecteurs sont de même longueur et orthogonaux deux à deux, alors le repère s’appelle un repère orthonormé.
  • Les mêmes points ont des coordonnées qui peuvent être distinctes selon les repères que l’on considère.

3Formules utiles

Quel que soit le repère utilisé, si et sont deux points, leur milieu et si et ,

alors :

avec .

Méthode

Déterminer les coordonnées de points dans un repère

On considère un repère de l’espace et les points , et .

1. Démontrer qu’il existe un unique point tel que .

2. Soit le point tel que et le milieu de .

Déterminer les coordonnées de et .

3. Montrer que est le milieu de .

Conseils

1. Recherchez à l’aide de ses coordonnées .

2. Trouvez les coordonnées du milieu de puis comparez-les à celles de .

Solution

1. Supposons que le point existe.

Le vecteur a pour coordonnées :

Donc .

2. On a

et donc I a pour coordonnées .

3. Le milieu de a pour coordonnées

.

On a donc , ce qu’il fallait démontrer.

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