Calculs d'aire

A f positive sur [a, b]

Soit f une fonction positive sur un intervalle [a, b]. L'aire , en unités d'aire, de la partie du plan, ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :

a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x), est : = ${\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x$.

EXEMPLE

On considère la courbe représentative H de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par : $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

L'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe H, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 3 est $A={\int }_1^3\frac{1}{x}\text{d}x$ (puisque $\frac{1}{x}>0$ sur [1, 3]).

$A={\left[\ln x\right]}_1^3=\ln 3–\ln 1=\ln 3–0=\ln 3$ ≈ 1,1 unité d'aire.

B f est négative sur [a, b]

Soit f une fonction négative sur un intervalle [a, b]. L'aire , en unités d'aire, de la partie du plan ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :

a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ 0,

est : = $–{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x$  (attention au signe moins).

C Aire limitée par deux courbes représentatives

Soient f et g deux fonctions telles que pour tout x de [a, b], g(x) ≤ f(x). L'aire A, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par les courbes représentatives de f et g et les deux droites d'équations respectives x = a et x = b est :

= ${\int }_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\text{d}x$

EXEMPLE

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$) unité : 1 cm sur chaque axe. Sur la figure, C est la courbe représentative de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$. La droite ∆ d'équation y = x est une asymptote de C.

Calculons l'aire en cm² de la partie limitée par C, ∆ et les droites d'équations x = 1 et x = 2.

Les deux fonctions g : x ↦ x et f : $x\mapsto x+\frac{1}{x}$ sont telles que pour tout x de [1, 2] g(x) ⩽ f(x). D'où l'aire cherchée est :

$A={\int }_1^2\left[f\right(x)–g(x\left)\right]\text{d}x={\int }_1^2\frac{1}{x}\text{d}x={\left[\ln x\right]}_1^2$ ; $A=\left(\ln 2\right){\text{cm}}^2\approx \mathrm{0,7}{\text{cm}}^2$.

D Exemples d'unités d'aire

L'aire considérée dans les résultats des paragraphes A, B, C ci-dessus est exprimée en unités d'aire.

Dans un repère orthonormé (O ; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$) l'unité d'aire est l'aire du carré défini par les vecteurs unitaires $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OJ}$ du repère.

Si sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées l'unité choisie est 1 cm, alors l'unité d'aire est 1 cm² ; si l'unité choisie sur chaque axe de coordonnée est 2 cm, alors l'unité d'aire est 4 cm².

Dans un repère orthogonal (O ; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$) l'unité d'aire est l'aire du rectangle défini par les vecteurs unitaires $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OJ}$ du repère.

Si l'unité choisie sur l'axe des abscisses est 2 cm et si l'unité sur l'axe des ordonnées est 1 cm, alors l'unité d'aire est 2 cm².