Calculs dans ℂ

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Nombres complexes : points de vue algébrique et géométrique


Il existe un ensemble de nombres plus grand que , l’ensemble des nombres complexes, noté , dans lequel on peut aussi définir les quatre opérations pour pouvoir effectuer des calculs algébriques.

I Forme algébrique d’un nombre complexe

Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique z=a+iba et b sont deux nombres réels, et où le nombre i vérifie i2=1.

L’écriture a + ib est la forme algébrique du nombre complexe z.

On note a=Rez la partie réelle de z, et b=Imz la partie imaginaire de z.

Soient deux nombres complexes z=a+ib et z=a+ib, où a, b, a′, b′ sont quatre nombres réels. L’unicité de la forme algébrique se traduit par l’équivalence :

z = z′⇔ a = a′ et b = b

Cas particuliers :

 Si b=0, z est un nombre réel.

 Si a=0 (et b0), z est un imaginaire pur.

II Opérations et règles de calcul dans

Soient les deux nombres complexes z=a+ib et z=a+ib, avec a, b, a′, b′ quatre nombres réels.

Tout nombre complexe admet un opposé dans .

L’opposé de z est le nombre complexe z=abi.

Tout nombre complexe non nul z admet un inverse dans , noté 1z.

On définit les opérations dans ℂ de la façon suivante :

 z+z=a+a+ib+b

 z×z=aabb+iabab

 zz=aa+ibb

 zz=z×1z, avec z0

On a les identités remarquables :

 z+z2=z2+2zz+z2

zz2=z22zz+z2

 z2z2=zzz+z

À noter

D’une façon générale, les règles de calcul connues dans s’appliquent aussi dans en tenant compte de i2 = −1.

Pour tout n, on a la formule du binôme de Newton :

z+zn=k=0nnkznkzk=n0zn+n1zn1z1+n2zn2z2++nn1z1zn1+nnzn

III Nombres complexes conjugués

Le nombre complexe conjugué de z=a+ib, a;b2, est le nombre complexe aib. On note z¯=a+ib¯=aib.

Cas particuliers :

 z¯=z si et seulement si z est un nombre réel.

 z¯=z si et seulement si z est un nombre imaginaire pur.

Soient z et z′ deux nombres complexes.

 z¯¯=z

 z+z¯=z¯+z¯

 zz¯=z¯z¯

 1z¯=1z¯z0

 zz¯=z¯z¯z0

 zn¯=z¯nz0,n

Méthode

Calculer avec des nombres complexes

a. Calculer z=2+3i1+4i¯5+2i.

b. Donner la forme algébrique du nombre complexe z=1+2i4+i2+i.

c. Soit α=1+i2. Démontrer que α25α=3α¯9.

Conseils

a. Donnez l’expression du nombre complexe conjugué, puis effectuez la multiplication en utilisant les mêmes règles de calcul que dans , mais en tenant compte du fait que i2 = −1.

b. Développez et réduisez le numérateur, puis multipliez le numérateur et le dénominateur par le nombre complexe conjugué du dénominateur (astuce à connaître !) de façon à obtenir un réel au dénominateur.

c. Calculez chaque membre séparément pour démontrer l’égalité ou calculez le premier membre en faisant apparaître l’expression du deuxième membre.

Solution

a. z=2+3i1+4i¯5+2i=2+3i14i5+2i=28i+3i12i25+2=28i+3i+125+2i=93i

À noter

Sans précisions, le résultat doit être donné sous la forme algébrique a+ib avec a;bR2.

b. z=1+2i4+i2+i=4+i8i22+i=67i2+i=67i2i2+i2i=12+6i14i722i2=198i4+1=198i5=19585i

c. α25α=1+i2251+i2=1+2i2255i2=63i2=33i29=31i29=3α¯9

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