Première générale Maths (tronc commun) Fonctions dérivées et variations

Les formules données dans cette fiche sont à connaître, elles permettent de calculer aisément les fonctions dérivées des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

IProduit d’une fonction dérivable par une constante

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ, soit k un réel et soit g la fonction définie sur I par $g (x) = k \times f (x)$ .

Soit a et b deux réels distincts de I, alors le taux de variation de g est :

$\frac{g (b) - g (a)}{b - a} = k \times \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

Si la fonction f est dérivable sur I, alors la fonction g est également dérivable sur I et sa fonction dérivée vaut, pour tout réel x de I :

$g^{'} (x) = k \times f^{'} (x)$

attention !

Cette formule n’est valide que si k est une constante. La formule analogue pour le produit de deux fonctions n’est pas au programme de l’option.

IISomme de deux fonctions dérivables

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de ℝ et soit s la fonction définie sur I par $s (x) = f (x) + g (x)$ .

Soit a et b deux réels distincts de I, alors le taux de variation de s est :

$\frac{s (b) - s (a)}{b - a} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} + \frac{g (b) - g (a)}{b - a}$

Si les fonctions f et g sont dérivables sur I, alors la fonction s est également dérivable sur I et, pour tout réel x de I, sa fonction dérivée vaut :

$s^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

IIIApplication aux fonctions polynômes

Soit a, b, c et d des réels, les fonctions suivantes sont définies et dérivables sur $ℝ .$

	Fonction	Fonction dérivée
Fonctions constantes	$x \mapsto a$	$x \mapsto 0$
Fonctions affines	$x \mapsto a x + b$	$x \mapsto a$
Fonctions polynômes de degré 2	$x \mapsto a x^{2} + b x + c$	$x \mapsto 2 a x + b$
Fonctions polynômes de degré 3	$x \mapsto a x^{3} + b x^{2} + c x + d$	$x \mapsto 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Méthodes

1 Déduire des nombres dérivés

On considère deux fonctions f et g définies sur ℝ et dérivables en 1 telles que $f^{'} (1) = 3$ et $g^{'} (1) = 1$ .

Soit h, j, k et p les fonctions définies sur ℝ par :

$h (x) = - 3 f (x)$ ; $j (x) = f (x) + g (x)$ ; $k (x) = 2 f (x) - g (x)$ et $p (x) = f (x) + 2$ .

Calculer $h^{'} (1)$ , $j^{'} (1)$ , $k^{'} (1)$ et $p^{'} (1)$ .

Conseils

Utilisez les formules donnant la dérivée du produit d’une fonction par un réel et d’une somme de fonctions pour calculer $p^{'} (1),$ $h^{'} (1)$ et $j^{'} (1)$ , combinez ces formules pour calculer $k^{'} (1)$ .

Solution

$h^{'} (1) = - 3 \times f^{'} (1)$ donc $h^{'} (1) = - 9$ .

$j^{'} (1) = f^{'} (1) + g^{'} (1)$ donc $j^{'} (1) = 4$ .

$k^{'} (1) = 2 \times f^{'} (1) - g^{'} (1)$ donc $k^{'} (1) = 5$ .

$p^{'} (1) = f^{'} (1) + 0$ donc $p^{'} (1) = 3$ .

2 Calculer des fonctions dérivées

On considère quatre fonctions f, g, h et j définies sur ℝ par :

$f (x) = - 2 x$ ; $g (x) = - 3$ ; $h (x) = x^{3} - 2 x + 1$ et $j (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{3}$ .

a. Déterminer la nature de chacune de ces fonctions.

b. Déterminer leurs fonctions dérivées.

c. En déduire $f^{'} (0)$ , $g^{'} (1)$ , $h^{'} (- 1)$ et $j^{'} (2)$ .

Conseils

Après avoir déterminé s’il s’agit du produit par un réel, d’une somme ou de la combinaison des deux, utilisez les formules du cours pour déterminer les fonctions dérivées.

Solution

a. La fonction f est affine, la fonction g est une fonction constante, la fonction h est une fonction polynôme de degré 3 et, puisque pour tout réel x, $j (x) = \frac{1}{3} (x^{2} - 2 x)$ , j est une fonction polynôme de degré 2.

b. Ces fonctions sont dérivables sur ℝ et, pour tout réel x, on a :

$f^{'} (x) = - 2$ ; $g^{'} (x) = 0$ ; $h^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ et $j^{'} (x) = \frac{1}{3} (2 x - 2)$ .

c. On en déduit que $f^{'} (0) = - 2$ ; $g^{'} (1) = 0$ ; $h^{'} (- 1) = 1$ et $j^{'} (2) = \frac{2}{3}$ .

Calculs de fonctions dérivées

IProduit d’une fonction dérivable par une constante

attention !

IISomme de deux fonctions dérivables

IIIApplication aux fonctions polynômes

Méthodes

1 Déduire des nombres dérivés

Conseils

Solution

2 Calculer des fonctions dérivées

Conseils

Solution

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