Méthode

Déterminer des primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a. $f\left(x\right)=2x^3+\frac{3}{x}$, pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ ;

b. $g\left(x\right)=\frac{x}{1+x^2}$, pour tout x ∈ ℝ.

solution

a. Étape 1 La fonction f est continue sur ]0 ; + ∞[ comme somme de fonctions continues ; elle y admet donc des primitives.

Étape 2 $x\mapsto \frac{x^4}{4}$ est une primitive de x ↦ x³, et x ↦ lnx est une primitive de $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur ]0 ; + ∞[ ; donc les primitives de f sur ]0 ; + ∞[ sont de la forme $F\left(x\right)=2\times \frac{x^4}{4}+3\ln x+C=$ $\frac{x^4}{2}+3\ln x+C$, où C est une constante réelle.

b. Étape 1 La fonction g est continue sur ℝ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ; elle admet donc des primitives sur ℝ.

Étape 2 Posons u (x) =1 + x². La fonction u est dérivable sur ℝ et $u^{\prime }\left(x\right)=2x.$

Pour tout x ∈ ℝ, $g\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \frac{2x}{1+x^2}=\frac{1}{2}\frac{u^{\prime }\left(x\right)}{u\left(x\right)}$, avec pour tout réel x, u(x) = 1 + x² > 0.

Donc les primitives de g sur ℝ sont de la forme $G\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)+C$ où C est une constante réelle.