Méthode

Déterminer des primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a. $f\left(x\right)=2x^3+\frac{3}{x}$, pour tout $x\in \left]0;+\text{}\infty \right[;$

b. $g\left(x\right)=\frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^3}$, pour tout $x\in \text{ℝ}.$

Solution

a. Étape 1 La fonction f est continue sur $\left]0;+\text{}\infty \right[$ comme somme de fonctions continues ; elle y admet donc des primitives.

Étape 2 $x\mapsto \frac{x^4}{4}$ est une primitive de $x\mapsto x^3$ et $x\mapsto \ln x$ est une primitive de $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur $\left]0;+\text{}\infty \right[$, donc les primitives de f sur $\left]0;+\text{}\infty \right[$ sont de la forme $F\left(x\right)=2\times \frac{x^4}{4}+3\ln x+C=$$\frac{x^4}{2}+3\ln x+C$, où C est une constante réelle.

b. Étape 1 La fonction g est continue sur $\text{ℝ}$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ; elle admet donc des primitives sur $\text{ℝ}$.

Étape 2 Posons $u\left(x\right)=1+x^2$. La fonction u est dérivable sur $\text{ℝ}$ et $u^{\prime }\left(x\right)=2x.$

Pour tout $x\in \text{ℝ},$$g\left(x\right)=\frac{1}{2}\times \frac{2x}{{\left(1+x^2\right)}^3}=\frac{1}{2}{u}^{\prime }\left(x\right){\left(u\left(x\right)\right)}^{-3}.$

Donc les primitives de g sur $\text{ℝ}$ sont de la forme

$G\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{{\left(1+x^2\right)}^{-3+1}}{-3+1}+C=\frac{1}{2}\frac{{\left(1+x^2\right)}^{-2}}{-2}+C=$$-\frac{1}{4{\left(1+x^2\right)}^2}+C$ où $C$ est une constante réelle.