La convexité d'une fonction peut aussi s'étudier à partir de sa dérivée seconde. L'étude devient alors plus calculatoire mais permet d'étudier des situations concrètes, notamment en économie.

I Lien entre convexité et dérivée seconde

1 Dérivée seconde d'une fonction

Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ′ sa dérivée sur I. Si f ′ est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f sur I, la dérivée de f ′ sur I. On note cette dérivée seconde f ″.

2 Dérivée seconde et convexité

Propriété : f est convexe sur un intervalle I si et seulement si f ″ est positive sur I.

Remarque : f est donc concave sur un intervalle I si et seulement si f ″ est négative sur I.

II Lien entre points d'inflexion et dérivée

Définition : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. S'il existe un point A de $\mathcal{C}$, tel que la tangente à la courbe en A traverse $\mathcal{C}$, on dit que A est un point d'inflexion pour $\mathcal{C}$.

Attention : c'est en ce point que la tangente doit traverser la courbe.

Théorème : Soit a un réel de l'ensemble de définition de f. Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, le point I(a ; f(a)) est un point d'inflexion de $\mathcal{C}$ si et seulement si f ″ s'annule et change de signe en a.

Méthodes

1 Étudier la convexité d'une fonction

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 3x² − 4x + 1.

Étudier la convexité de f sur ℝ.

conseil

La fonction proposée est deux fois dérivable sur ℝ. Pour ­étudier sa convexité, ­déterminez sa dérivée seconde et étudiez-en le signe.

solution

f est une fonction polynôme donc f est deux fois dérivable sur ℝ.

Pour tout réel x, f ′(x) = 6x − 4 et f ″(x) = 6.

f ″(x) > 0 pour tout réel x, donc la fonction f est convexe sur ℝ.

2 Déterminer des points d'inflexion

Soient f la fonction définie sur ℝ par $f(x)=\frac{2x}{x^2+2}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. Étudier l'existence éventuelle de points d'inflexion.

conseils

Pour déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I, il suffit de :

 déterminer f ″(x) ;

 résoudre l'équation f ″(x) = 0 ;

 étudier le signe de f ″(x) et déterminer si f ″ « change de signe » en chacune des éventuelles solutions de l'équation f ″(x) = 0.

solution

f est deux fois dérivable sur ℝ. Pour tout réel x, on a :

$f^{\prime }(x)=\frac{2(x^2+2)-2x(2x)}{{(x^2+2)}^2}=\frac{-2x^2+4}{{(x^2+2)}^2}$

$f^{″}(x)=\frac{-4x{(x^2+2)}^2-(-2x^2+4)(2\times 2x(x^2+2)}{{(x^2+2)}^4}=\frac{4x(x^2-6)}{{(x^2+2)}^3}$

f ″(x) = 0 ⇔ 4x(x²−6) = 0 ⇔ x = 0 ou x² = 6 ⇔ x = 0, x = $\sqrt{6}$, x = $-\sqrt{6}$.

La courbe possède au maximum trois points d'inflexion.

f ″(x) s'annule et change de signe en $-\sqrt{6}$, en 0 et en $\sqrt{6}$. $\mathcal{C}$ admet donc trois points d'inflexion dont les abscisses sont $-\sqrt{6}$, 0 et $\sqrt{6}$.