Fiche de révision

Caractérisation de la convexité

Contenu


La convexité d'une fonction peut aussi s'étudier à partir de sa dérivée seconde. L'étude devient alors plus calculatoire mais permet d'étudier des situations concrètes, notamment en économie.

I Lien entre convexité et dérivée seconde

1 Dérivée seconde d'une fonction

Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ′ sa dérivée sur I. Si f ′ est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f sur I, la dérivée de f ′ sur I. On note cette dérivée seconde f ″.

2 Dérivée seconde et convexité

Propriété : f est convexe sur un intervalle I si et seulement si f ″ est positive sur I.

Remarque : f est donc concave sur un intervalle I si et seulement si f ″ est négative sur I.

II Lien entre points d'inflexion et dérivée

Définition : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative. S'il existe un point A de C, tel que la tangente à la courbe en A traverse C, on dit que A est un point d'inflexion pour C.

Attention : c'est en ce point que la tangente doit traverser la courbe.

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Théorème : Soit a un réel de l'ensemble de définition de f. Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, le point I(a ; f(a)) est un point d'inflexion de C si et seulement si f ″ s'annule et change de signe en a.

Méthodes

1 Étudier la convexité d'une fonction

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 3x² − 4x + 1.

Étudier la convexité de f sur ℝ.

conseil

La fonction proposée est deux fois dérivable sur ℝ. Pour ­étudier sa convexité, ­déterminez sa dérivée seconde et étudiez-en le signe.

solution

f est une fonction polynôme donc f est deux fois dérivable sur ℝ.

Pour tout réel x, f ′(x) = 6x − 4 et f ″(x) = 6.

f ″(x) > 0 pour tout réel x, donc la fonction f est convexe sur .

2 Déterminer des points d'inflexion

Soient f la fonction définie sur ℝ par f(x)=2xx2+2 et C sa courbe représentative. Étudier l'existence éventuelle de points d'inflexion.

conseils

Pour déterminer les éventuels points d'inflexion de la courbe représentative d'une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I, il suffit de :

 déterminer f ″(x) ;

 résoudre l'équation f ″(x) = 0 ;

 étudier le signe de f ″(x) et déterminer si f ″ « change de signe » en chacune des éventuelles solutions de l'équation f ″(x) = 0.

solution

f est deux fois dérivable sur ℝ. Pour tout réel x, on a :

f(x)=2(x2+2)2x(2x)(x2+2)2=2x2+4(x2+2)2

f(x)= 4x(x2+2)2(2x2+4)(2×2x(x2+2)(x2+2)4=4x(x26)(x2+2)3

f ″(x) = 0 ⇔ 4x(x2−6) = 0 ⇔ x = 0 ou x2 = 6 ⇔ x = 0, x = 6, x = 6.

La courbe possède au maximum trois points d'inflexion.

Tableau de 2 lignes, 10 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : x; -∞; ; -6; ; 0; ; 6; ; -∞; Ligne 2 : f ″(x); ; -; 0; +; 0; -; 0; +; ;

f ″(x) s'annule et change de signe en 6, en 0 et en 6. C admet donc trois points d'inflexion dont les abscisses sont 6, 0 et 6.

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