Cercle trigonométrique. Mesure d’un angle

Merci !

Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Fonctions trigonométriques


Par « enroulement », chaque nombre réel est associé à un point du cercle trigonométrique. On fait ainsi le lien entre longueur d’un arc et angle au centre, et on définit une nouvelle unité de mesure des angles : le radian.

I Le cercle trigonométrique

1 Définition

05285_chap07_fiche20i01

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).

Le cercle trigonométrique est le cercle 𝒞 de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens « ­inverse des aiguilles d’une montre » appelé « sens trigonométrique ».

2 Enroulement de la droite réelle

On définit une « graduation » du cercle 𝒞 en enroulant la droite réelle autour de 𝒞, de manière à faire coïncider chaque réel x avec un point de 𝒞, le réel 0 étant associé au point I.

Tout réel x est associé à un unique point M de 𝒞, appelé image de x.

Tout point de 𝒞 correspond à une infinité de nombres réels : les réels x1 et x2 sont associés au même point du cercle 𝒞 si et seulement si x2 x1 est un multiple de 2π.

Si x est un réel appartenant à [0 ; π] et M le point de 𝒞 image de x, alors x est la longueur de l’arc IM du cercle 𝒞.

II Mesure d’angle : le radian

Le radian (symbole : rad) est la mesure d’un angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique 𝒞 un arc de longueur 1.

Plus généralement, si A et B sont deux points du cercle 𝒞 tels que l’arc AB du cercle 𝒞 ait pour longueur ℓ, alors ℓ est la mesure en radians de l’angle AOB^.

Si x est un réel appartenant à [0 ; π] et M le point de 𝒞 image de x, alors x est la mesure en radians de l’angle IOM^.

Un angle plat (180°) a pour mesure π radians.

À noter

Les mesures d’angles en degrés et en radians sont proportionnelles, ex. π2 rad = 90°.

Méthodes

1 Placer sur le cercle trigonométrique le point image d’un réel donné

05285_chap07_fiche20i02

Sur le cercle trigonométrique 𝒞, les points A et C (respectivement D et F, G et K, L et N) partagent l’arc IJ (­respectivement JI′, I′J′, J′I) en trois arcs de même longueur. B (­respectivement E, H, M) est le milieu de l’arc AC (respectivement DF, GK, LN).

Donner le point image des réels suivants :

a. 3π4  b. π3

conseils

• Si a > 0, son image sur le cercle 𝒞 s’obtient en parcourant sur ce cercle une distance égale à a dans le sens positif à partir du point I.

• Si a < 0, on parcourt sur 𝒞 une distance égale à –a dans le sens négatif à partir de I.

solution

a. 3π4>0 et 3π4=π2+π4, or E est au milieu du quart de cercle JI′.

L’image de 3π4 est E.

b. π3<0, on parcourt 𝒞 dans le sens négatif. IN et NL ont pour longueur 13×π2=π6 et IL pour longueur π3. L’image de π3 est L.

2 Passer des degrés aux radians et inversement

a. Convertir 75° en radians. b. Convertir 5π6 rad en degrés.

conseils

Utiliser la proportionnalité des mesures d’angles en degrés et en radians, et la relation π2 rad = 90°.

solution

a. Si 75° = t rad, alors t=75×π290=75π180 D’où 75° = 5π12 rad.

b. Si 5π6 rad = α°, alors α=90×5π6π2=90×56×2. D’où 5π6 rad = 150°.

Annabac est gratuit en septembre !

Inscris-toi pour en profiter.