Coefficient directeur

Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Représenter et caractériser les droites du plan

La pente d’une droite est comme la pente d’une route, avec une particularité : lorsque la droite « descend », la pente est négative ; ­lorsqu’elle « monte », la pente est positive.

I Généralités

Théorème. Soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB). Dans le cas où la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, son coefficient directeur est égal à :

À noter

Une droite admet un coefficient directeur à la condition exclusive qu’elle ne soit pas parallèle à l’axe des ordonnées.

yByAxBxA

Preuve. Le coefficient directeur de la droite qui a pour équation y = mx + p est le nombre m. On sait que yA = mxA + p et yB = mxB + p. Donc :

yByAxBxA=mxB+p(mxA+p)xBxA=mxBmxAxBxA=m(xBxA)xBxA=m.

II Propriétés des coefficients directeurs (ou pentes)

À noter

Intuitivement, la pente est nulle sur un terrain plat.

La pente d’une droite horizontale (parallèle à l’axe des abscisses) est nulle. D’ailleurs son équation est de la forme y = p.

Dans un repère, on parcourt une droite de gauche à droite, dans le sens de lecture usuel.

 Si la droite « monte » (figure de gauche), alors la pente est positive ; elle représente une fonction affine croissante.

 Si la droite « descend » (figure de droite), alors la pente est négative ; elle représente une fonction affine décroissante.

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On peut trouver graphiquement la pente d’une droite sans en avoir l’équation. Il suffit de connaître deux points sur la droite.

Méthode

Trouver graphiquement la pente d’une droite

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1. a. Déterminer graphiquement la pente de la droite tracée ci-dessus dans le repère (O, I, J), à l’aide des points A et B d’une part, et C et D d’autre part.

b. La pente d’une route s’exprime en pourcentage.

Le panneau ci-dessous signale que, sur cette route, pour 100 m de déplacement horizontal (théorique), on s’élève (ou on descend) verticalement de 10 m.

Quel rapport y a-t‑il entre la pente d’une droite et la pente d’une route ?

2. Déterminer l’équation de la droite (AB).

conseils

1. Visualisez les déplacements horizontaux et verticaux exprimés par xB – xA et yB – yA. De même pour les points C et D.

2. On connaît m, il suffit de trouver p.

solution

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1. a. Comme la droite « monte », on peut déjà savoir que le coefficient directeur est positif.

D’autre part, yB yA est la distance EB et xB – xA est la distance AE.

yByAxBxA=EBEA. La pente de la droite, calculée à l’aide des points A et B, est égale à 42 c’est-à-dire 2.

On trouve, de même, yDyCxDxC=FDFC=2.

b. Le panneau de signalisation est trompeur car, en réalité, la pente de 10 % se mesure comme celle d’une droite, c’est-à-dire à l’aide d’un triangle rectangle et non d’un triangle quelconque.

La route ci-dessous a une pente de :

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vh=110=10100=10%.

2. L’équation est de la forme y = 2x + p. L’ordonnée à l’origine est yB = –1. L’équation cherchée est donc y = 2x – 1.