Terminale générale Maths complémentaires Lois discrètes

Lorsqu'on construit un arbre relatif à un schéma de Bernoulli il est utile de savoir combien de chemins comportent exactement k succès. Les coefficients binomiaux apportent la réponse.

I Définition des coefficients binomiaux

On dispose de n objets. Le nombre de façons d'en choisir k (k ≤ n) se note $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ et se lit « k parmi n ». Ce nombre s'appelle un coefficient binomial.

Exemple : On dispose de 5 emplacements pour placer des lettres. Le nombre de façons de placer la lettre B sur 3 emplacements est égal à $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ . En effet, il y a $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ façons de choisir un emplacement parmi les 5 disponibles ; en voici deux :

PB_Bac_06462_MathsComplT_gene_p000-000_C07_Groupe_Schema_0

II Calcul des coefficients binomiaux

Pour calculer $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , on peut utiliser le triangle de Pascal :

Tableau de 8 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 8 lignes ;Ligne 1 : kn; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Ligne 2 : 0; 1; ; ; ; ; ; ; Ligne 3 : 1; 1; 1; ; ; ; ; ; Ligne 4 : 2; 1; 2; 1; ; ; ; ; Ligne 5 : 3; 1; 3; 3; 1; ; ; ; Ligne 6 : 4; 1; 4; 6; 4; 1; ; ; Ligne 7 : 5; 1; 5; 10; 10; 5; 1; ; Ligne 8 : 6; 1; 6; 15; 20; 15; 6; 1;

Il est construit à l'aide de la formule de Pascal valable pour tout entier n et tout entier k :

$(\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$

Exemple : $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ = 15 (triangle de Pascal avec n = 5 et k = 3).

Remarque : On a aussi $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ n - k \end{matrix})$ , par exemple $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = 10$ .

Méthode

Compter des chemins dans un schéma de Bernoulli

On considère un schéma de Bernoulli à n répétitions, la probabilité de succès S étant égale à p.

1. On suppose dans cette question que n = 3.

a. Combien y a-t-il de chemins contenant deux succès exactement ?

b. Combien y a-t-il de chemins contenant k succès (0 ≤ k ≤ 3) ?

2. Dans le cas général, combien y a-t-il de chemins contenant exactement k succès ?

conseils

1. a. Un arbre permet de répondre par simple dénombrement.

b. Utilisez les coefficients binomiaux.

2. Raisonnez en pensant à la position des succès dans le chemin.

solution

1. a. En comptant simplement, on voit qu'il y a trois chemins contenant 2 succès. On constate que $3 = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ .

b. Un chemin est une liste à 3 éléments choisis parmi S (succès) et $\bar{S}$ (échec). Pour savoir combien de chemins contiennent k lettres S, on choisit k places de la liste parmi les 3 dont on dispose, ce qui fait $(\begin{matrix} 3 \\ k \end{matrix})$ possibilités, donc $(\begin{matrix} 3 \\ k \end{matrix})$ chemins possibles. 06462_chap07_fiche19_i01

2. Un chemin est ici une liste à n éléments choisis parmi S et $\bar{S}$ . En généralisant le raisonnement précédent et en remplaçant 3 par n, on constate qu'il y a $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ chemins contenant exactement k succès.

Coefficients binomiaux