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Parmi les fonctions puissance, exponentielle et logarithme népérien, c'est la fonction logarithme népérien qui modélise les croissances les plus lentes.

I Théorème des croissances comparées

Soit n un entier naturel non nul. On a :

$\lim_{x \to 0^{+}} x^{n} \ln x = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x^{n}} = 0$

Conséquence : Compte tenu des croissances comparées des fonctions puissance et exponentielle, on a également :

$\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{e^{x}} = 0$

À noter

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x}$ est la limite du taux d'accroissement en 0 de la fonction u définie sur $]- 1; + \infty[$ par $u (x) = \ln (1 + x)$ , dont la dérivée est $u^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} .$

Donc $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = u^{'} (0) = 1$ (il faut connaître cette limite !).

II Courbes représentatives

Méthode

Lever une forme indéterminée

a. Calculer la limite en $+ \infty$ de la fonction $f : x \mapsto e^{x} - x + \ln x$ .

b. Calculer les limites de la fonction $g : x \mapsto x \ln (1 + \frac{1}{x})$ aux bornes de l'intervalle $]0; + \infty[$ .

Conseils

a. Pour f, factorisez par le terme qui « l'emporte » pour faire apparaître des croissances comparées.

b. Pour g, utilisez une propriété de la fonction ln pour vous ramener à une croissance comparée.

Solution

a. Pour tout réel x strictement positif, $f (x) = e^{x} (1 - \frac{x}{e^{x}} + \frac{\ln x}{e^{x}}) .$

Par croissances comparées, on a $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = 0$ .

Donc, par somme, $\lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{x}{e^{x}} + \frac{\ln x}{e^{x}}) = 1 .$

De plus, $\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ .

Donc, par produit, on obtient $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

b. Pour tout réel x strictement positif, $g (x) = x \ln (\frac{x + 1}{x}) = x \ln (x + 1) - x \ln x .$ Par croissances comparées, $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ , donc par somme, $\lim_{x \to 0^{+}} g (x) = 0$ .

En effectuant le changement de variable $X = \frac{1}{x}$ , on a $\lim_{x \to + \infty} x \ln (1 + \frac{1}{x}) = \lim_{X \to 0} \frac{\ln (1 + X)}{X} = 1$ , donc $\lim_{x \to + \infty} g (x) = 1$ .

À noter

On reconnaît $\lim_{X \to 0} \frac{\ln (1 + X)}{X}$ qui n'est pas une croissance comparée, mais la limite d'un taux d'accroissement.

Comparaison des fonctions puissance, ln et exp

I Théorème des croissances comparées

À noter

II Courbes représentatives

Méthode

Lever une forme indéterminée

Conseils

Solution

À noter

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