Fiche de révision

Comparaison des fonctions puissance, ln et exp

Contenu


Parmi les fonctions puissance, exponentielle et logarithme népérien, c'est la fonction logarithme népérien qui modélise les croissances les plus lentes.

I Théorème des croissances comparées

Soit n un entier naturel non nul. On a :

limx0+xnlnx=0 et limx+lnxxn=0

Conséquence : Compte tenu des croissances comparées des fonctions puissance et exponentielle, on a également :

limx+lnxex=0

À noter

limx0ln1+xx est la limite du taux d'accroissement en 0 de la fonction u définie sur 1;+ par ux=ln1+x, dont la dérivée est ux=11+x.

Donc limx0ln1+xx=u0=1 (il faut connaître cette limite !).

II Courbes représentatives

06468_C08_02

Méthode

Lever une forme indéterminée

a. Calculer la limite en + de la fonction f : xexx+lnx.

b. Calculer les limites de la fonction g : xxln(1+1x) aux bornes de l'intervalle 0;+.

Conseils

a. Pour f, factorisez par le terme qui « l'emporte » pour faire apparaître des croissances comparées.

b. Pour g, utilisez une propriété de la fonction ln pour vous ramener à une croissance comparée.

Solution

a. Pour tout réel x strictement positif, f(x)=ex(1xex+lnxex).

Par croissances comparées, on a limx+xex=0 et limx+ln(x)ex=0.

Donc, par somme, limx+(1xex+lnxex)=1.

De plus, limx+ex=+.

Donc, par produit, on obtient limx+f(x)=+.

b. Pour tout réel x strictement positif, g(x)=xln(x+1x)=xln(x+1)xlnx. Par croissances comparées, limx0+xlnx=0, donc par somme, limx0+gx=0.

En effectuant le changement de variable X=1x, on a limx+xln(1+1x)=limX0ln(1+X)X=1, donc limx+gx=1.

À noter

On reconnaît limX0ln1+XX qui n'est pas une croissance comparée, mais la limite d'un taux d'accroissement.

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