Étant donné deux réels a et b, comment savoir s’ils sont égaux, ou sinon, lequel des deux est le plus petit, c’est-à-dire comment les ­comparer ? Avec une calculatrice, certes, mais si ce sont des expressions littérales ?

I Comparer a et b

a ⩽ b si et seulement si b – a est positif.

a ⩽ b ⇔ b – a ⩾ 0

Lorsque les deux nombres sont de même signe on peut aussi utiliser leur quotient :

$0<a\le b\iff \frac{a}{b}\le 1 \text{et }a\le b<0\iff \frac{a}{b}\ge 1$.

Rappel : si a = b et b = c alors a = c !

II Transformations d’inégalités

Les nombres a + c et b + c d’une part, a – c et b – c d’autre part sont rangés dans le même ordre que a et b. Autrement dit :

a ⩽ b ⇔ a + c ⩽ b + c et a ⩽ b ⇔ a – c ⩽ b – c

Les produits ac et bc d’une part et les quotient $\frac{a}{c}\text{et }\frac{b}{c}$ d’autre part sont rangés :

dans le même ordre que a et b si c est strictement positif ;

si c > 0, a ⩽ b ⇔ ac ⩽ bc et $a\le b\iff \frac{a}{c}\le \frac{b}{c}$

dans l’ordre inverse de a et b si c est strictement négatif.

si c < 0, a ⩽ b ⇔ ac ⩾ bc et $a\le b\iff \frac{a}{c}\ge \frac{b}{c}$

En ajoutant membre à membre deux inégalités de même sens on obtient une inégalité de même sens. Autrement dit : a ⩽ b et c ⩽ d ⇒ a + c ⩽ b + d.

En général on ne peut rien dire de semblable pour les trois autres opérations.

Mais si les quatre nombres sont strictement positifs (voir exercice 22) :

Méthodes

Utiliser un algorithme pour déterminer le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b

1. Quelle est la mission du programme suivant ?

2. Un utilisateur a lancé le programme et voici ce qui est affiché sur la console.

Interpréter l’affichage.

conseils

1. Pour la commande int(input(…)).

Dans la boucle while, quelle est la condition testée ? Quelle est l’instruction réalisée à chaque passage ? Une fois sorti de la boucle, quelle est la valeur affichée ?

2. Que représente le nombre 123 455 232 pour 2 022 et 123 456 789 ?

solution

1. Le programme demande à l’utilisateur de saisir deux nombres qu’il nomme b et a. Puis, tant que k × a est inférieur ou égal à b (ligne 4) il ajoute 1 à k (ligne 5).

Dès que la valeur de k × a est supérieure à b, le programme affiche la valeur de k – 1 (qui n’est pas entre guillemets), suivie du caractère étoile (*), suivi de la valeur de a, suivie du caractère égal (=), etc.

La valeur (k – 1) × a est le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b.

2. L’affichage montre que 123 455 232 est le plus grand multiple de 2 022 inférieur ou égal à 123 456 789.

À noter

123 455 232 est le 61 056^e multiple non nul de 2 022.