Compléments sur les dérivées et les primitives

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Dérivées et primitives

Compléments sur les dérivées et les primitives

1Nombre dérivé ; fonction dérivée

A Définitions (rappels)

Définition et notation du nombre dérivé

Soit f une fonction dont la courbe représentative a une tangente au point d’abscisse a.

• Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.

• Le nombre dérivé de f en a est noté f(a).

Définition de fonction dérivable et de fonction dérivée

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si f admet un nombre dérivé en tout point de I.

• La fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x s’appelle fonction dérivée de f et se note f′.

B Dérivées des fonctions usuelles (rappels)

Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».

* est l’ensemble des nombres entiers strictement positifs.

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C Opérations sur les fonctions dérivables (rappels et compléments)

Dans ce qui suit, u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.

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Exemples

Soit f la fonction définie sur [1, 10] par : f(x)=x+1x ;

On utilise 2, 5 et 10

pour tout x de [1, 10], f'(x)=11x2.

On utilise 11 et le 1°

Soit f la fonction définie sur ]0, + ∞[ par : g(x)=34x+1x ;

pour tout x de ]0, + ∞[, g(x)=3411x2

On utilise 3 et 12

Soit h la fonction définie sur par : h(x) = (3x + 1) (– x + 2) ;

pour tout x de , h′(x) = 3(– x + 2) + (3x + 1) (– 1) ; h′(x) = – 6x + 5.

On utilise 4, 11 et 10

Soit i la fonction définie sur par : i(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 7 ;

pour tout x de , i′(x) = 4(3x2) – 7 (2x) + 2 ; i′(x) = 12x2 – 14x + 2.

Soit j la fonction définie sur par : j(x) = (7x + 1)2 ;
pour tout x de , j′(x) = 2(7) (7x + 1)2–1 = 14 (7x + 1).

On utilise 13 et 3

Soit k la fonction définie sur [0, 10] par : k(x)=2x+13x+4.

On utilise 3 et 15

Pour tout x de [0, 10], k'(x)=(2)(3x+4)(2x+1)(3)(3x+4)2 ; k'(x)=5(3x+4)2.

On utilise 8, 10 et 9

Soit i la fonction définie sur par : i(t)=sin3t+π4+cos2t+π6.

Pour tout t de , i(t)=3cos3t+π42sin2t+π6.

2Applications de la dérivation (rappels)

A Sens de variation d’une fonction

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est positive sur I, alors f est croissante sur I.

Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.

B Recherche d’extremum

Un extremum est un minimum ou un maximum.

théorème

Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un point a distinct des extrémités de I, alors f′(a) = 0.

11515_Maths_03_01

Remarques importantes

La tangente à la courbe représentative d’une fonction au point correspondant à un maximum ou un minimum local est parallèle à l’axe des abscisses.

En un tel point la tangente est souvent représentée, comme sur les deux figures ci-dessus, par un segment limité par deux pointes de flèches.

C Tangente en un point à la courbe représentative de f

Construire une tangente à la courbe représentative d’une fonction f en un de ses points A, d’abscisse xA

11924_chap03_cours_01_stdi

À partir du point donné A(xA, yA) où yA = f(xA), on obtient un deuxième point B de la tangente Δ en ajoutant 1 à l’abscisse de A et f(xA) à l’ordonnée de A : xB = xA + 1 et yB = yAf(xA).

Équation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction f , dérivable en a, au point A d’abscisse a

y = f(a)(xa) + f(a).

Exemple

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 2x2x – 1.

On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse a = 1.

Une équation de la tangente est donc : yf′(1) (x – 1) + f(1).

f(1) = 2 – 1 – 1 = 0.

Pour calculer f′(1) il faut d’abord déterminer f′(x).

Pour tout x de , f′(x) = 2(2x) – 1, f′(x) = 4x – 1. D’où f′(1) = 3.

L’équation de la tangente est donc : y = 3(x – 1) + 0 ; y = 3x – 3.

3Primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle

A Ensemble des primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsqu’elle est dérivable sur I et que F′ = f.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit F une primitive de f.

Toutes les primitives de f sont les fonctions définies sur I par x F(x) + C, où C est une constante réelle.

Exemple

Soit f une fonction définie sur par f(x) = 3x2 – 2.

Une primitive de f est définie sur par g(x) = x3 – 2x.

Toutes les primitives de f sont définies sur par F(x) = x3 – 2xCC est une constante réelle quelconque.

B Primitives des fonctions usuelles

F donne la forme générale des primitives sur un intervalle I de la fonction f. C est une constante réelle quelconque.

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C Primitives d’une somme de fonctions, d’un produit d’une fonction par un nombre réel

Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G une primitive de g sur I, alors FG est une primitive de fg sur I. 9

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, et si a est un nombre réel, alors aF est une primitive de af sur I. 10

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]0, + ∞[ par f(x)=3x2x2.

Pour tout x de ]0, + ∞[, f(x)=3(x)2×1x2 ; toutes les primitives de f sont donc définies sur par :

On a utilisé 2, 4, 9 et 10.

F(x)=3×12x221x+C, où C est une constante réelle quelconque ;

F(x)=32x2+2x+C.

D Primitives de fonctions composées de la forme uun

Dans les formules suivantes, u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et C une constante réelle quelconque.

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Exemples de calculs

• Soit f la fonction définie sur par : f(x) = – x3 + 2x2 + 3x – 4.

Toutes les primitives de f sont définie sur par :

On utilise 3, 9 et 10.

F(x)=114x4+213x3+312x24x+C

C est une constante réelle quelconque.

F(x)=14x4+23x3+32x24x+C.

• Soit g la fonction définie sur par : f(x) = 4 (4x + 1)2.

f(x) est de la forme u′(x)[u(x)]n, avec u(x) = 4x + 1, donc u′(x) = 4 et n = 2.

Toutes les primitives de g sont définies sur par :

On utilise 11.

G(x)=12+1(4x+1)2+1+C ; G(x)=13(4x+1)3+C,

C est une constante réelle quelconque.

• Soit h la fonction définie sur par : h(x)=x(x2+1)2.

h(x) ressemble à u(x)[u(x)]2. On pose alors u(x) = x2 + 1, donc u′(x) = 2x.

On peut transformer l’écriture de h(x) : h(x)=122x(x2+1)2.

Dans le crochet on fait apparaître « exactement » 11515_Math_386

. On utilise 12.

Toutes les primitives de h sont donc définies sur par : H(x)=121x2+1+C, où C est une constante réelle quelconque ;

H(x)=12(x2+1)+C, où C est une constante réelle quelconque.

• Soit i la fonction définie sur par : i(x) = 2 sin 3x – cos 4x.

Toutes les primitives de i sont définies sur par : i(x)=213cos3x14sin4x+C, où C est une constante réelle quelconque ; i(x)=23cos3x14sin4x+C.

On utilise 7 et 8.

Remarque

Lorsqu’on dispose d’une calculatrice équipée d’un logiciel de calcul formel, on peut vérifier les calculs de primitives et de dérivées. 

E Utiliser le logiciel de calcul formel maxima