Comprendre et exploiter la notion de colinéarité

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Géométrie plane
Corpus Corpus 1
Comprendre et exploiter la notion de?colinéarité

FB_Bac_99063_Mat1_S_023

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Rappels de cours

1 Définition

À savoir?! Les vecteurs et sont colinéaires si , étant un nombre réel.

? Deux vecteurs du plan sont colinéaires si l’un est le produit de l’autre par un réel.

exemples

  • Dans un repère du plan, les vecteurs et sont colinéaires car .
  • Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan car .

2 Colinéarité dans un repère

Dans un repère du plan, les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si

exemple Dans un repère du plan, les vecteurs et sont colinéaires car

3 Alignement – Parallélisme

? Deux droites et sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

? Trois points , et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

Méthodes

Démontrer un parallélisme sans repère

Soit un triangle et les points et tels que et . Démontrer que est parallèle à .

Conseils

Décomposez le vecteur à l’aide de la relation de Chasles pour montrer que et sont colinéaires.

Solution

Rappel

Relation de Chasles?: et .

Les vecteurs et sont colinéaires donc est parallèle à .

Démontrer un parallélisme dans un repère

Dans un repère du plan, on donne les points , , et . Démontrer que le quadrilatère est un trapèze.

Conseils

Démontrez que les vecteurs et sont colinéaires.

Solution

  

et

Les vecteurs et sont colinéaires donc les droites et sont parallèles. Le quadrilatère est donc un trapèze.

Rechercher un alignement dans un repère

Déterminer le réel pour que, dans un repère du plan, les points , et soient alignés.

Solution

, et sont alignés si et seulement si et sont colinéaires.

On a et

, et sont alignés si et seulement si

c’est-à-dire si

donc . Ainsi .

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