Ce module introduit la notion de nombre dérivé d’une fonction en un point et celle de fonction dérivée. L’étude des variations d’une fonction dérivable s’effectue à partir de l’étude du signe de sa fonction.
9Comprendre les dérivées
1Ce qu’il faut savoir faire
- Construire en un point la tangente à la courbe représentative d’une fonction ƒ à l’aide d’outils numériques.
- Étudier, sur un intervalle donné, les variations d’une fonction à partir du calcul et de l’étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variations.
- Déterminer un extremum d’une fonction sur un intervalle donné à partir de son sens de variation.
- Utiliser les formules et les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2.
- Dresser le tableau de variations d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 2.
- Étudier la fonction inverse : dérivée, variations, représentation graphique. Dresser son tableau de variations.
À noter
L’utilisation des TICE (calculatrice ou logiciel pour représenter graphiquement une fonction, sa dérivée, vérifier un extremum, repérer un point d’intersection) peut nécessiter l'intervention du professeur.
2Pour réussir le CCF
- Les étapes du raisonnement pour faire l’étude des variations d’une fonction et déterminer un extremum d’une fonction :
1. Calculer la dérivée de la fonction
2. Étudier le signe de la dérivée
3. Compléter le tableau de variations
4. Repérer dans le tableau de variations le ou les extremums de la fonction
- Les étapes du raisonnement pour vérifier graphiquement, à l’aide d’un outil numérique, un extremum :
1. Connaître le tableau de variations de la fonction
2. Noter la fonction dans la calculatrice
3. Repérer l’extremum
4. Vérifier l’extremum obtenu à la question 1 avec l’extremum obtenu à la question 3
Méthode
Mise en application
Une créatrice fabrique des objets fantaisie et vend toute sa production (elle peut produire au maximum 60 bijoux).
Le bénéfice total, en euros, obtenu par la vente de x bijoux est :
B (x) = - 2 x² + 140 x - 1 200.
Combien faut-il vendre de bijoux pour que le bénéfice soit maximal ? Vérifier à l’aide d’un outil numérique le nombre de bijoux nécessaires.
Les solutions détaillées
- Calcul de la dérivée : B‘ (x) = -2 × 2 x + 140 B‘ (x) = - 4 x + 140
- Étude du signe de la dérivée :
B‘ (x) > 0 - 4 x + 140 > 0 - 4 x > - 140 x < x < 35
- La dérivée est positive lorsque x est inférieur à 35.
- Tableau de variations :
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- On peut donc conclure que c’est pour 35 objets vendus que le bénéfice est maximal.
- Le bénéfice est alors de 1 250 €.
- Vérification graphique :
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On vérifie bien que c’est pour 35 objets que le bénéfice est maximal.