Comprendre les nombres premiers

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la divisibilité et les nombres premiers


Rappels de cours

1 Division euclidienne

Lorsque l’on divise un entier naturel a par un entier naturel b, on trouve un entier naturel q et il reste un entier naturel r.

On a alors la relation a=b×q+r.

a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r le reste.

exemple Si on divise 69 par 19, on trouve le quotient 3 et il reste 12. On a 69=19×3+12.

À savoir ! Un entier est divisible par un autre entier si le reste est nul dans la division euclidienne de ces deux nombres.

2 Nombres premiers

 Un nombre premier est un entier naturel divisible seulement par lui-même et par 1.

exemples

31 est un nombre premier car il est divisible seulement par 31 et 1.

35 n’est pas un nombre premier car il est divisible, entre autres, par 5.

 Il existe 25 nombres premiers inférieurs à 100. Ce sont les nombres : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 et 97.

► Décomposer un nombre n en un produit de facteurs premiers, c’est écrire ce nombre en un produit de nombres premiers.

exemples

La décomposition en produit de facteurs premiers de n=42 est : n=2×3×7. Pour n=3300, on a : n=22×3×52×11.

Méthodes

Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

Décomposer le nombre 84 en un produit de facteurs premiers.

conseils

Essayez de diviser le nombre donné par les nombres premiers successifs en commençant par le plus petit (c’est-à-dire 2). Arrêtez-vous quand le quotient vaut 1 !

 

Solution

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Nous obtenons donc 84=2×2×3×7 ou encore 84=22×3×7.

Simplifier une fraction

Rendre la fraction F=168140 irréductible.

conseils

Commencez par décomposer le numérateur et le dénominateur de la fraction en produits de facteurs premiers.

 

Solution

168=2×2×2×3×7=23×3×7 et 140=2×2×5×7=22×5×7.

Alors : F=2×2×2×3×72×2×5×7, soit après simplification F=2×35 ou encore F=65.

Trouver des nombres premiers jumeaux

a. Deux nombres entiers naturels successifs peuvent-ils être premiers ? Pourquoi ?

b. Deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers dont la différence vaut 2. Citer 3 paires de nombres premiers jumeaux.

Solution

a. 2 et 3 sont deux nombres entiers consécutifs qui sont premiers. Cependant, lorsqu’on considère deux entiers naturels consécutifs et supérieurs à 3, l’un d’eux est nécessairement pair, donc divisible par 2. Alors ce nombre ne peut pas être premier. Donc, à part 2 et 3, il n’est pas possible que deux nombres consécutifs soient tous les deux premiers.

b. Il existe beaucoup de paires de nombres premiers jumeaux, par exemple (3 ; 5), (11 ; 13) et (29 ; 31).