En bref Dans beaucoup de situations, on peut définir une relation entre deux nombres. Par exemple, la vitesse est liée au temps ou encore l'aire d'un carré est liée à la longueur du côté de ce carré. On va s'intéresser à ce type de relation, les fonctions.

INotion de fonction

Une fonction est un procédé de calcul qui permet d'associer au plus un nombre à un autre nombre.

Pour définir une fonction, on peut utiliser :

une phrase ;

Exemple : On définit la fonction f qui à tout nombre x, associe le double de x.

une notation symbolique ;

Exemple : On définit la fonction $f:x\mapsto 2x$.

une égalité.

Exemple : On définit la fonction f telle que f(x) = 2x.

IIAntécédents et image d'un nombre par une fonction

1 Comment trouver l'image d'un nombre ?

Pour trouver l'image d'un nombre par une fonction, on remplace x par ce nombre dans l'expression de f(x).

Graphiquement, les images se lisent sur l'axe vertical, c'est-­à-­dire sur l'axe des ordonnées.

2 Comment trouver l'antécédent d'un nombre ?

Pour trouver un antécédent d'un nombre k par une fonction, on cherche la ou les valeurs de x solution de l'équation f(x) = k.

Graphiquement, les antécédents se lisent sur l'axe horizontal, c'est-­à-­dire sur l'axe des abscisses.

Méthode

Calculer des images ou des antécédents

Soit f la fonction définie par f(x) = 3x² − 5.

1 Quelle est l'image de 0, de $\frac{2}{3}$ et de −1 par f ?

2 −5 admet-­il un antécédent par f ?

Conseils

1 Pour calculer l'image de $\frac{2}{3}$, remplace x par $\frac{2}{3}$ dans l'expression 3x² − 5. Utilise alors la propriété ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{a}{b}\times \frac{a}{b}=\frac{a\times a}{b\times b}$ pour calculer ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

2 Pour trouver les éventuels antécédents de −5 par f, résous l'équation f(x) = −5.

Solution

1 Pour calculer l'image de 0, on remplace x par 0 dans l'égalité f(x) = 3x² − 5. On obtient f (0) = 3 × 0² − 5 = −5. L'image de 0 est −5.

De même, on a :

$f{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=3{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-5$

$f\left(\frac{2}{3}\right)=3\left(\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}\right)-5$

$f\left(\frac{2}{3}\right)=3\times \frac{4}{9}-5$

$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}-\frac{15}{3}$

$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{-11}{3}$.

L'image de $\frac{2}{3}$ est $-\frac{11}{3}$.

Enfin f (−1) = 3(−1)² − 5, soit f (−1) = 3 × 1 − 5 = −2.

Donc l'image de −1 est −2.

2 Pour déterminer les éventuels antécédents de −5, on résout l'équation $f\left(x\right)=-5$. On a :

$3x^2-5=-5$

$3x^2=-5+5$

$x^2=0$

$x=0$.

L'antécédent de −5 par f est 0. Autrement dit, f (0) = −5.

À noter

2 Pour la fonction f choisie, le nombre −5 a un unique antécédent.