Troisième Mathématiques Comparer, calculer et résoudre des problèmes

En bref Le produit d'un nombre x plusieurs fois par lui-même est appelé puissance de x. L'écriture $x^{n}$ facilite les calculs sur des nombres très grands ou très petits.

IPuissance d'un nombre x

1 Puissance d'exposant positif d'un nombre x

x est un nombre relatif et n est un entier positif supérieur ou égal à 2.

La puissance d'exposant n de x est le nombre xⁿ égal au produit de n facteurs tous égaux à x.

Convention : x⁰ = 1 et x¹ = x.

Cas particulier : x² désigne le carré de x et x³ désigne le cube de x.

Exemples : 8² = 8 × 8 = 64

(−2)³ = (−2)×(−2)×(−2) = (−8).

2 Puissance d'exposant négatif d'un nombre x

$x$ est un nombre relatif et n est un entier positif supérieur ou égal à 2.

La puissance d'exposant −n de $x$ est le nombre x^–ⁿ. On a : $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ .

Exemple : $7^{- 3} = \frac{1}{7^{3}} = \frac{1}{7 \times 7 \times 7} = \frac{1}{343}$ .

À NOTER

Ne confonds pas le double de x et son carré. Le double de 8 est 16 et son carré est 64.

x désigne un nombre relatif non nul, x^–ⁿ est l'inverse de xⁿ. On a : x^–ⁿ × xⁿ = 1.

IIPuissance de 10

n est un entier positif non nul.

On a : $10^{n} = \underset{n f a c t e u r s}{\underset{︸}{10 \times . . . \times 10}} = 1 \underset{n z é r o s}{\underset{︸}{00 . . .0}}$ et $10^{- n} = \frac{1}{10^{n}}$ .

Voici les différents noms attribués à des puissances de 10 particulières.

Tableau de 7 lignes, 7 colonnes ;Corps du tableau de 7 lignes ;Ligne 1 : Puissance de 10; Préfixe; Symbole; ; Puissance de 10; Préfixe; Symbole; Ligne 2 : 1012; téra; T; 10−1; déci; d; Ligne 3 : 109; giga; G; 10−2; centi; c; Ligne 4 : 106; méga; M; 10−3; milli; m; Ligne 5 : 103; kilo; k; 10−6; micro; μ; Ligne 6 : 102; hecto; h; 10−9; nano; n; Ligne 7 : 101; déca; da; ;

Méthodes

1 Utiliser le vocabulaire des puissances

Compléter les phrases suivantes à l'aide d'un des mots : facteur, carré, produit, exposant.

a. 10² est le … de 10.

b. Dans le nombre 10⁴, 4 est l'…

c. Dans l'expression 8 × 8 × 8, 8 est un …

d. 64 est le … de 8 par 8.

Conseils

Chaque mot a été utilisé une seule fois.

Un carré est une puissance d'exposant 2.

L'exposant est un entier qui indique le nombre de fois qu'un nombre est multiplié par lui-même.

Un facteur est l'un des nombres figurant dans un produit.

Le produit est le résultat d'une multiplication.

Solution

a. 10² est le carré de 10.

b. Dans le nombre 10⁴, 4 est l'exposant.

c. Dans l'expression 8 × 8 × 8, 8 est un facteur.

d. 64 est le produit de 8 par 8.

2 Utiliser les puissances

Écrire les nombres suivants sous forme décimale :

a. $2^{- 2}$

b. $10^{- 3}$

c. ${(- 0,5)}^{2}$

Conseils

a. et b. L'exposant est négatif et tu sais que $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ .

c. Le carré d'un nombre est égal au produit de ce nombre par lui-même.

Solution

a. $2^{- 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} = 0,25$

b. $10^{- 3} = \frac{1}{1 000} = 0,001$

c. ${(- 0,5)}^{2} = (- 0,5) \times (- 0,5) = 0,25$

Conduire un calcul avec des puissances

IPuissance d'un nombre x

1 Puissance d'exposant positif d'un nombre x

2 Puissance d'exposant négatif d'un nombre x

À NOTER

IIPuissance de 10

Méthodes

1 Utiliser le vocabulaire des puissances

Conseils

Solution

2 Utiliser les puissances

Conseils

Solution

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