Connaître densité et loi uniforme

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Corpus Corpus 1
Connaître densité et loi uniforme

FB_Bac_98617_MatT_S_036

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Rappels de cours

1Densité de probabilité

 Une densité de probabilité est une fonction définie sur , positive, continue par morceaux et telle que .

 Soit une densité de probabilité.

Dire qu’une variable aléatoire a pour densité signifie que :

À noter ! représente une aire sous la courbe de .

On démontre que , , .

 Pour tous nombres et  :

 L’espérance d’une variable aléatoire de densité est, quand il existe, le nombre noté égal à .

remarque Lorsqu’une des bornes au moins est infinie, on utilise des limites. Ainsi étant une constante.

2Densité uniforme


Soit et deux nombres tels que .

 La densité uniforme sur est la fonction définie par :

On a bien .

 Pour tout  :

et 

Méthode

Calculer le facteur déterminant une densité de probabilité

Soit un nombre réel et la fonction définie sur par :

1. Représenter dans le cas .

2. Trouver pour que soit une densité de probabilité.

3. Soit une variable aléatoire de densité .

Calculer

Conseil

2. Soit un nombre. .

Solution

1. On obtient la courbe ci-contre.

2. La fonction est définie et positive sur .

Elle est continue sur et sur . Elle est discontinue en 1 car et . Ces deux limites étant finies, est continue par morceaux.

, .

Or  ; donc .

Par conséquent, pour que soit une densité de probabilité, on doit avoir, c’est-à-dire qu’il faut et qu’il suffit que .

3.

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