Fiche de révision

Connaître la distributivité

Contenu

En bref Pour résoudre des problèmes, on est amené à factoriser, c'est-­à-­dire transformer une somme en produit, ou bien à développer, c'est-­à-­dire transformer un produit en somme.

IDistributivité simple

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et la soustraction.

Soit a, b, c trois nombres quelconques. La règle de distributivité simple donne :

Mot clé

Cette égalité traduit la distributivité de la multiplication sur l'addition.

pb_bvt_07829_maths3_p083-106_C04_Groupe_Schema_0

Exemples :

On veut développer A = 2(4x + 3).

On obtient A = 2 × 4x + 2 × 3, soit A = 8x + 6.

On veut factoriser B = 5x − 7x.

On obtient Bx × (5 − 7) ; Bx × (−2), soit B = −2x.

IIDistributivité double

Soit a, b, c et d des nombres quelconques. La règle de distributivité double donne :

pb_bvt_07829_maths3_p083-106_C04_Groupe_Schema_3

Exemple :

On veut développer A = (2x − 3)(3x + 5).

On obtient :

A = 2x (3x + 5) + (−3) (3x + 5)

A = 2x × 3x + 2x × 5 − 3 × 3x − 3 × 5

A = 6x2 + 10x − 9x − 15

A = 6x2x − 15.

Méthodes

1 Utiliser la distributivité simple pour simplifier une expression

On considère les expressions A = 2x − 3x + 7x − 10 et B = 4x2 + 5 − 2x2 + 2.

Factoriser ces expressions pour les simplifier.

conseils

Regroupe tous les termes qui contiennent l'inconnue x et mets x en facteur.

Solution

Dans l'expression A, les termes 2x, −3x et 7x contiennent tous le terme x. On a :

A = 2 × x − 3 × x + 7 × x − 10

A = (2 − 3 + 7) × x − 10

A = 6 × x − 10

A = 6x − 10.

Dans l'expression B, les termes 4x2 et −2x2 contiennent le terme x2.

On a :

B = 4 × x2 + 5 − 2 × x2 + 2

B = (4 − 2) x2 + 5 + 2

B = 2x2 + 7

2 Utiliser la distributivité double pour calculer

On veut calculer de tête 101 × 11.

1 Développer (100 + 1)(10 + 1).

2 Expliquer comment calculer de tête 101 × 11.

conseils

1 Utilise l'égalité (ab)(cd) = acadbcbd pour développer. Observe que (100 + 1)(10 + 1) = 100(10 + 1) + 1(10 + 1).

2 Observe que 101 = 100 + 1. Écris de même 11 sous la forme d'une somme de deux entiers. Utilise le résultat de la question 1. pour conclure.

Solution

1 On développe (100 + 1)(10 + 1).

(100 + 1)(10 + 1) = 100 × 10 + 100 × 1 + 1 × 10 + 1 × 1

(100 + 1)(10 + 1) = 1 000 + 100 + 10 + 1

(100 + 1)(10 + 1) = 1 111.

2 On veut calculer 101 × 11.

On a 100 + 1 = 101 et 10 + 1 = 11, donc 101 × 11 = (100 + 1)(10 + 1) = 1 111.

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