En bref Pour résoudre des problèmes, on est amené à factoriser, c'est-à-dire transformer une somme en produit, ou bien à développer, c'est-à-dire transformer un produit en somme.
IDistributivité simple
La multiplication est distributive par rapport à l'addition et la soustraction.
Soit a, b, c trois nombres quelconques. La règle de distributivité simple donne :
Mot clé
Cette égalité traduit la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Exemples :
On veut développer A = 2(4x + 3).
On obtient A = 2 × 4x + 2 × 3, soit A = 8x + 6.
On veut factoriser B = 5x − 7x.
On obtient B = x × (5 − 7) ; B = x × (−2), soit B = −2x.
IIDistributivité double
Soit a, b, c et d des nombres quelconques. La règle de distributivité double donne :
Exemple :
On veut développer A = (2x − 3)(3x + 5).
On obtient :
A = 2x (3x + 5) + (−3) (3x + 5)
A = 2x × 3x + 2x × 5 − 3 × 3x − 3 × 5
A = 6x2 + 10x − 9x − 15
A = 6x2 + x − 15.
Méthodes
1 Utiliser la distributivité simple pour simplifier une expression
On considère les expressions A = 2x − 3x + 7x − 10 et B = 4x2 + 5 − 2x2 + 2.
Factoriser ces expressions pour les simplifier.
conseils
Regroupe tous les termes qui contiennent l'inconnue x et mets x en facteur.
Solution
Dans l'expression A, les termes 2x, −3x et 7x contiennent tous le terme x. On a :
A = 2 × x − 3 × x + 7 × x − 10
A = (2 − 3 + 7) × x − 10
A = 6 × x − 10
A = 6x − 10.
Dans l'expression B, les termes 4x2 et −2x2 contiennent le terme x2.
On a :
B = 4 × x2 + 5 − 2 × x2 + 2
B = (4 − 2) x2 + 5 + 2
B = 2x2 + 7
2 Utiliser la distributivité double pour calculer
On veut calculer de tête 101 × 11.
1 Développer (100 + 1)(10 + 1).
2 Expliquer comment calculer de tête 101 × 11.
conseils
1 Utilise l'égalité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd pour développer. Observe que (100 + 1)(10 + 1) = 100(10 + 1) + 1(10 + 1).
2 Observe que 101 = 100 + 1. Écris de même 11 sous la forme d'une somme de deux entiers. Utilise le résultat de la question 1. pour conclure.
Solution
1 On développe (100 + 1)(10 + 1).
(100 + 1)(10 + 1) = 100 × 10 + 100 × 1 + 1 × 10 + 1 × 1
(100 + 1)(10 + 1) = 1 000 + 100 + 10 + 1
(100 + 1)(10 + 1) = 1 111.
2 On veut calculer 101 × 11.
On a 100 + 1 = 101 et 10 + 1 = 11, donc 101 × 11 = (100 + 1)(10 + 1) = 1 111.