Connaître la divisibilité et les congruences

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Corpus Corpus 1
Connaître la divisibilité et les congruences

FB_Bac_98617_MatT_S_055

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Rappels de cours

1Diviseurs et multiples

à noter !

et

Soit et deux nombres relatifs.

Dire que divise (on note ) signifie qu’il existe un entier relatif tel que .

On dit alors que est un diviseur de et que est un multiple de .

propriétés Soit et des entiers relatifs.

  • Transitivité : et
  • Antisymétrie : et
  • Si divise et , alors divise toute combinaison linéaire de et , c’est-à-dire tout nombre de la forme .

remarques

  • Tout entier relatif a au moins deux diviseurs : 1 et .
  • 0 est un multiple de tout entier relatif.

2Division euclidienne

Soit un entier relatif et un entier relatif non nul. Il existe un unique couple d’entiers tels que avec .

remarque est un multiple de si et seulement si le reste de la division euclidienne de par est nul.

3Congruences

Soit un entier naturel non nul.

Dire que deux entiers relatifs et sont congrus modulo signifie que et ont le même reste dans la division euclidienne par .

On écrit ( congru à modulo ).

propriétés Soit des entiers relatifs, et .

à noter ! Si
s’appelle le résidu de modulo .

  • équivaut à est divisible par .
  • signifie que est divisible par .
  • ( et )

(transitivité).

théorème

conséquences Soit des entiers relatifs, et et deux entiers de .

Méthode

Reconnaître des multiples de 3

Soit un entier relatif.

1. Montrer qu’il y a exactement un multiple de 3 parmi les entiers et .

2. Généralisation : on remplace 19 et 29 par des nombres p et q. Quelle condition doivent-ils satisfaire pour obtenir le même résultat qu’en 1. ?

Conseil

1. Dire que est un multiple de 3 signifie que

Examinez tous les restes de la division de par 3 et trouvez les résidus modulo 3 de 19 et 29.

Solution

1. Du point de vue de la congruence modulo 3, a exactement trois états : et .

De plus, comme et , on a :

et .

  • Si , alors .

De même .

  • Si , alors .

De même .

  • Si , alors .

De même .

Par conséquent, dans les trois états possibles de , il y a exactement un des trois nombres et qui est un multiple de 3.

2. Soit et deux entiers relatifs tels que et . En raisonnant comme précédemment, on voit qu’un seul des trois nombres et est un multiple de 3.

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