Connaître la fonction exponentielle

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Corpus Corpus 1
Connaître la fonction exponentielle

FB_Bac_98617_MatT_S_017

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Rappels de cours

1Définition

Il existe une unique fonction définie sur , dérivable, dont la dérivée est égale à elle–même (c’est-à-dire telle que pour tout ) et vérifiant .

Cette fonction s’appelle la fonction exponentielle et se note exp.

Ainsi :

 et 

2Propriétés de la fonction exponentielle

 Tableau de variation


 

à noter !

 Pour tout , et .

3Propriétés algébriques

, et étant trois réels quelconques, on a :

remarque En utilisant la dernière formule avec , on trouve :

4Équations et inéquations

 La fonction exp est strictement croissante sur .

C’est pourquoi ,

 et 

 Si , alors et d’inconnue n’ont pas de solution car « une exponentielle est toujours positive ».

 Si , l’équation a une solution unique : . L’inéquation a pour ensemble de solutions l’intervalle . (>fiche22)

Méthode

Résoudre une inéquation par changement de variable

Résoudre dans l’inéquation .

Conseil

En posant , on a .

Solution

Si , l’inéquation équivaut à .

Les racines de sont et 4.

L’inéquation équivaut donc à .

Pour tout ,  ; donc le signe de est celui de .

Sachant que

et

le tableau de signes suivant conduit au résultat :


 

L’ensemble des solutions est .

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