Connaître la loi normale

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Corpus Corpus 1
Connaître la loi normale 𝒩(0, 1)

FB_Bac_98617_MatT_S_038

38

87

2

Rappels de cours

1Fonction de Gauss normalisée et loi normale


 La densité de probabilité appelée fonction de Gauss normalisée est la fonction :

 Dire qu’une variable aléatoire a pour loi la loi normalecentrée et réduite signifie que sa densité de probabilité est la fonction de Gauss normalisée. On écrit que suit la loi .

 Pour tout , .

2Propriétés


Soit une variable aléatoire dont la loi est .

Pour tous réels , , , on a :

  • Pour tout réel , il existe un unique nombre positif tel que , c’est-à-dire .
  • (donc est centrée) et (donc est réduite).

3Graphique et valeurs importantes


La calculatrice fournit et connaissant (touche Inverse Normale).

Méthode

Démontrer des propriétés de la fonction de Gauss

Soit la fonction de Gauss normalisée.

1. Montrer que est paire.

2. Pour tout , exprimer en fonction de puis en fonction de .

En déduire que .

Conseil

2. Utilisez la relation de Chasles et .

Raisonnez graphiquement en utilisant la parité de .

Si est une variable aléatoire qui suit la loi , alors .

Solution

1. Pour tout donc est paire.

2. Pour tout ,

  • .

remarque Les intégrales sont finies bien qu’elles mesurent des aires de domaines non bornés.

Donc, .

  • On a .

En effet, si est l’aire du domaine hachuré à gauche sur la figure 2 du cours. La fonction étant paire, ce domaine est superposable au domaine hachuré à droite. L’aire de ce dernier est égale à d’où la conclusion :

donc .

>>