Connaître la notion de variable aléatoire

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Corpus Corpus 1
Connaître la notion de variable aléatoire

FB_Bac_98616_MatT_LES_034

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Rappels de cours

On considère une expérience aléatoire d’univers .

 Une variable aléatoireX est une fonction à valeurs réelles définie sur . Si X prend un nombre fini de valeurs , on dit qu’il s’agit d’une variable aléatoire discrète.

 La loi de probabilité de X est la donnée des probabilités des événements .

 L’espérance de est le nombre réel :

Méthodes

Établir une loi de probabilité

Une association organise une tombola avec 1 000 tickets. Parmi les 1 000 tickets :

  •  1 seul rapporte  ;
  •  20 rapportent chacun ;
  • tous les autres sont perdants.

On admet que les achats des billets sont des événements équiprobables, et que tous les billets sont vendus. Soit la variable aléatoire égale au gain réalisé avec le ticket acheté.

Établir la loi de probabilité de X.

Conseils

Pour établir une loi de probabilité :

  • on identifie toutes les valeurs possibles prises par la variable aléatoire  ;
  • puis on calcule la probabilité de chacune de ces valeurs.

Les résultats sont présentés sous forme d’un tableau.

Solution

Les valeurs possibles prises par sont , et .

Les probabilités correspondantes sont , et .

On présente les résultats dans le tableau ci-après.


X





Probabilités




Déterminer si un jeu est équitable

Quel doit être le prix d’achat d’un billet de tombola (dans les conditions du jeu précédent) pour rendre le jeu équitable ?

Conseils

On dit qu’un jeu est équitable si l’espérance pour le joueur est nulle.

Solution

.

L’espérance de gain pour un joueur de cette tombola est 0,6 . Si le prix d’achat du billet est 0,6 , le jeu est équitable.

L’organisateur de la tombola aura donc intérêt à fixer un prix du billet supérieur à 0,6  s’il espère avoir un bénéfice à la fin du jeu.

Interpréter une espérance mathématique

Le nombre d’appels téléphoniques reçus en 5 min par un employé du standard d’une compagnie aérienne donne lieu à une étude de probabilités. On note la probabilité de recevoir appels en  :


Nombre d’appels





pi




Calculer et interpréter l’espérance de cette loi numérique.

Conseils

L’espérance mathématique est une moyenne des nombres réels , pondérée par les probabilités , ce qui permet d’obtenir une estimation du résultat moyen que l’on peut attendre après un grand nombre d’expériences.

Solution

. On peut interpréter ce nombre comme une moyenne d’appels reçus en 5 min, dès lors que le nombre d’expériences réalisées est très grand.

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