Connaître la notion de variable aléatoire

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Corpus Corpus 1
Conna&icirc tre la notion de  variable  al&eacute atoire

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Rappels de cours

On consid&egrave re une exp&eacute rience al&eacute atoire d&rsquo univers .

&thinsp Une variable al&eacute atoireX est une fonction &agrave valeurs r&eacute elles d&eacute finie sur . Si X prend un nombre fini de valeurs , on dit qu&rsquo il s&rsquo agit d&rsquo une variable al&eacute atoire discr&egrave te.

&thinsp La loi de probabilit&eacute de X est la donn&eacute e des probabilit&eacute s des &eacute v&eacute nements .

&thinsp L&rsquo esp&eacute rance de est le nombre r&eacute el  :

M&eacute thodes

&Eacute tablir une loi de probabilit&eacute

Une association organise une tombola avec 1  000  tickets. Parmi les 1  000  tickets  :

  •   1 seul rapporte
  •   20 rapportent chacun 
  • tous les autres sont perdants.

On admet que les achats des billets sont des &eacute v&eacute nements &eacute quiprobables, et que tous les billets sont vendus. Soit la variable al&eacute atoire &eacute gale au gain r&eacute alis&eacute avec le ticket achet&eacute .

&Eacute tablir la loi de probabilit&eacute de X.

Conseils

Pour &eacute tablir une loi de probabilit&eacute   :

  • on identifie toutes les valeurs possibles prises par la variable al&eacute atoire
  • puis on calcule la probabilit&eacute de chacune de ces valeurs.

Les r&eacute sultats sont pr&eacute sent&eacute s sous forme d&rsquo un tableau.

Solution

Les valeurs possibles prises par sont , et .

Les probabilit&eacute s correspondantes sont , et .

On pr&eacute sente les r&eacute sultats dans le tableau ci-apr&egrave s.


X





Probabilit&eacute s




D&eacute terminer si un jeu est &eacute quitable

Quel doit &ecirc tre le prix d&rsquo achat d&rsquo un billet de tombola (dans les conditions du jeu pr&eacute c&eacute dent) pour rendre le jeu &eacute quitable  ?

Conseils

On dit qu&rsquo un jeu est &eacute quitable si l&rsquo esp&eacute rance pour le joueur est nulle.

Solution

.

L&rsquo esp&eacute rance de gain pour un joueur de cette tombola est 0,6 &euro . Si le prix d&rsquo achat du billet est 0,6 &euro , le jeu est &eacute quitable.

L&rsquo organisateur de la tombola aura donc int&eacute r&ecirc t &agrave fixer un prix du billet sup&eacute rieur &agrave 0,6  &euro s&rsquo il esp&egrave re avoir un b&eacute n&eacute fice &agrave la fin du jeu.

Interpr&eacute ter une esp&eacute rance math&eacute matique

Le nombre d&rsquo appels t&eacute l&eacute phoniques re&ccedil us en 5  min par un employ&eacute du standard d&rsquo une compagnie a&eacute rienne donne lieu &agrave une &eacute tude de probabilit&eacute s. On note la probabilit&eacute de recevoir appels en   :


Nombre d&rsquo appels





pi




Calculer et interpr&eacute ter l&rsquo esp&eacute rance de cette loi num&eacute rique.

Conseils

L&rsquo esp&eacute rance math&eacute matique est une moyenne des nombres r&eacute els , pond&eacute r&eacute e par les probabilit&eacute s , ce qui permet d&rsquo obtenir une estimation du r&eacute sultat moyen que l&rsquo on peut attendre apr&egrave s un grand nombre d&rsquo exp&eacute riences.

Solution

. On peut interpr&eacute ter ce nombre comme une moyenne d&rsquo appels re&ccedil us en 5 min, d&egrave s lors que le nombre d&rsquo exp&eacute riences r&eacute alis&eacute es est tr&egrave s grand.

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