Connaître le conditionnement et l’indépendance

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Corpus Corpus 1
Connaître le conditionnement et l’indépendance

FB_Bac_98617_MatT_S_031

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Rappels de cours

1Probabilité conditionnelle

Soit un événement de probabilité non nulle.
On appelle probabilité desachant le nombre :

D’où la formule dite des probabilités composées :

.

remarque a toutes les propriétés d’une probabilité :

et

(>dépliant,I)

2Événements indépendants, événements incompatibles

 Événements incompatibles et événements indépendants sont deux notions bien distinctes :

  • Dire que deux événements et sont indépendants signifie que :

remarque Si et sont indépendants, alors et le sont aussi, ainsi que et .

  • «  et sont incompatibles » signifie  .

 L’incompatibilité se conçoit donc en dehors de toute probabilité.

L’indépendance de deux événements se conçoit en fonction d’une probabilité.

Cependant, si et sont incompatibles et non-vides alors et ne sont pas indépendants.

3Calcul de

Dans la pratique, pour calculer , on peut utiliser :

1. la formule des probabilités composées, qui se réduit à dans le cas où et sont indépendants.

2. la formule .

Le contexte permet de trancher.

Méthode

Déterminer des probabilités conditionnelles dans un tirage

Un sac contient des pièces anciennes exclusivement en or (O) et en argent (A). Certaines proviennent du pays X, les autres du pays Y, et d’aucun autre pays.


1. Interpréter et compléter le tableau ci-contre.

On prélève une pièce au hasard.

2. Quelle est la probabilité qu’elle soit en or et provienne du pays X ?


3. Quelle est la probabilité qu’elle soit en or sachant qu’elle provient du pays X ?

4. Les événements et sont-ils indépendants ?

5. Vérifier que le tableau suivant est cohérent.

et sont-ils indépendants ?

Conseil

1. Le total des pièces en or et en argent est égale à 1.

Solution

1. On trouve 0,55 en effectuant .

On trouve 0,32 en effectuant 0,55 – 0,23, etc.

2. On cherche , soit 0,24 par lecture du tableau.

3. On cherche . On a .

4. : et ne sont donc pas indépendants.

5. Ici , .

Les deux événements sont ici indépendants !

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