Connaître le logarithme népérien

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Corpus Corpus 1
Connaître le logarithme népérien

FB_Bac_98617_MatT_S_022

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Rappels de cours

1Définition du logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction sur qui s’annule en 1. Elle se note .

Donc ,  et .



remarque

2Propriétés algébriques

Soit et deux réels strictement positifs et .

  • (propriété fondamentale)
  • , donc
  • donc car

3Équations et inéquations

La dérivée de ln étant strictement positive sur , ln est strictement croissante sur cet intervalle. Cela signifie que :

attention ! Un logarithme n’est pas toujours positif !

  • étant un réel strictement positif,

En particulier,

et

  •  : et

Méthode

Résoudre une inéquation comportant des logarithmes

Résoudre dans l’inéquation .

Conseils
  • Il faut d’abord trouver l’ensemble de définition, puis étudier le signe du produit.
  • Identifiez une identité remarquable et souvenez-vous du signe de .
Solution
  • est défini sur , donc on doit avoir et .

Le signe du quotient est celui du produit dont les racines sont et . Le signe est donc celui du coefficient de , c’est-à-dire 1, à l’extérieur des racines.

C’est pourquoi .

  • Posons .

si et seulement si . D’où :

De plus, .

Les deux racines de sont et .

Comme , on obtient le tableau de signes suivant :


À noter ! Remarquez les crochets ouverts et fermés.

On voit donc que l’ensemble des solutions est .

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