Connaître les fonctions polynômes de degré 2

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Etudes de fonctions


Rappels de cours

1 Polynôme de degré 2 et courbe représentative

À noter ! Le polynôme de degré 2 est ici écrit sous forme développée.

 Une fonction f définie sur est une fonction polynôme de degré 2 (ou simplement polynôme de degré 2) s’il existe des réels a, b et c(a0) tels que, pour tout réel x, on ait :

f(x)=ax2+bx+c

exemplef, g et h définies sur par f(x)=2x2x+1, g(x)=x2+4 et h(x)=5x23x sont des polynômes de degré 2.

 Dans un repère du plan, la courbe représentative d’un polynôme de degré 2 est une parabole. Elle admet un sommet, point d’abscisse b2a, et un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées .

2 Variations d’un polynôme de degré 2

Soit f un polynôme de degré 2 défini sur par f(x)=ax2+bx+c. Les variations de f dépendent du signe de a.

02909_F17_tab_01

Méthodes

Déterminer les variations d’un polynôme de degré 2

Soit p le polynôme de degré 2 défini sur par p(x)=3x224x+60. Dresser le tableau de variations de p.

Conseils

Identifiez les coefficients a, b et c. Concluez à l’aide du signe de a.

 

Solution

p est un polynôme de degré 2 avec a=3, b=24 et c=60.

Ainsi, b2a=242×3=4 et  f(4)=3×4224×4+60=12.

Comme a=3>0, nous avons le tableau de variations suivant :

02909_F17_tab_02

Déterminer le signe d’un produit

À noter ! Le polynôme de degré 2 est ici écrit sous forme factorisée.

Soit q le polynôme de degré 2 défini sur par q(x)=3x2+39x108. On admet que q(x)=(x+4)(3x27).

Pour quelle(s) valeur(s) de x le polynôme q est-il strictement négatif ?

Conseils

Étudiez le signe de chaque facteur et pensez à la règle des signes.

 

Solution

Le polynôme q est un produit de deux fonctions affines : xx+4 (a=1, b=4) et x3x27 (a=3, b=27). Dressons le tableau de signes de chacune d’elles .

Pour la fonction affine xx+4, comme a=1 on a :

02909_F17_tab_03

Pour la fonction affine x3x27, comme a=3>0 :

02909_F17_tab_04

Utilisons la règle des signes pour obtenir le signe du polynôme q :

02909_F17_tab_05

q est donc strictement négatif sur ];4[]9;+[.