Rappels de cours

1 Polynôme de degré 2 et courbe représentative

À noter ! Le polynôme de degré 2 est ici écrit sous forme développée.

► Une fonction $f$ définie sur $ℝ$ est une fonction polynôme de degré 2 (ou simplement polynôme de degré 2) s’il existe des réels $a$ , $b$ et $c$ $(a \neq 0)$ tels que, pour tout réel $x$ , on ait :

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

exemple $f$ , $g$ et $h$ définies sur $ℝ$ par $f (x) = 2 x^{2} - x + 1$ , $g (x) = - x^{2} + 4$ et $h (x) = 5 x^{2} - 3 x$ sont des polynômes de degré 2.

► Dans un repère du plan, la courbe représentative d’un polynôme de degré 2 est une parabole. Elle admet un sommet, point d’abscisse $- \frac{b}{2 a}$ , et un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées .

2 Variations d’un polynôme de degré 2

Soit $f$ un polynôme de degré 2 défini sur ℝ par $f (x) = a x^{2} + b x + c .$ Les variations de $f$ dépendent du signe de $a$ .

02909_F17_tab_01

Méthodes

Déterminer les variations d’un polynôme de degré 2

Soit $p$ le polynôme de degré 2 défini sur $ℝ$ par $p (x) = 3 x^{2} - 24 x + 60$ . Dresser le tableau de variations de $p$ .

Conseils

Identifiez les coefficients $a$ , $b$ et $c$ . Concluez à l’aide du signe de $a$ .

Solution

$p$ est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$ , $b = - 24$ et $c = 60$ .

Ainsi, $- \frac{b}{2 a} = - \frac{- 24}{2 \times 3} = 4$ et $f (4) = 3 \times 4^{2} - 24 \times 4 + 60 = 12$ .

Comme $a = 3 > 0$ , nous avons le tableau de variations suivant :

02909_F17_tab_02

Déterminer le signe d’un produit

À noter ! Le polynôme de degré 2 est ici écrit sous forme factorisée.

Soit $q$ le polynôme de degré 2 défini sur $ℝ$ par $q (x) = - 3 x^{2} + 39 x - 108$ . On admet que $q (x) = (- x + 4) (3 x - 27)$ .

Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ le polynôme $q$ est-il strictement négatif ?

Conseils

Étudiez le signe de chaque facteur et pensez à la règle des signes.

Solution

Le polynôme $q$ est un produit de deux fonctions affines : $x \mapsto - x + 4$ ( $a = - 1$ , $b = 4)$ et $x \mapsto 3 x - 27$ ( $a = 3$ , $b = - 27$ ). Dressons le tableau de signes de chacune d’elles .

Pour la fonction affine $x \mapsto - x + 4$ , comme $a = - 1$ on a :

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Pour la fonction affine $x \mapsto 3 x - 27$ , comme $a = 3 > 0$ :

02909_F17_tab_04

Utilisons la règle des signes pour obtenir le signe du polynôme $q$ :

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$q$ est donc strictement négatif sur $] - \infty; 4 [\cup] 9; + \infty [$ .

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Connaître les fonctions polynômes de degré 2