Rappels de cours
1 Polynôme de degré 2 et courbe représentative
À noter ! Le polynôme de degré 2 est ici écrit sous forme développée.
▸ Une fonction définie sur est une fonction polynôme de degré 2 s’il existe des réels , et tels que, pour tout réel , on ait :
exemple , et définies sur par , et sont des polynômes de degré 2.
▸ Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative d’un polynôme de degré 2 est une parabole. Elle admet un sommet (d’abscisse ) et un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées .
2 Variations d’un polynôme de degré 2
Soit un polynôme de degré 2 défini sur ℝ par Les variations de dépendent du signe de .
Méthodes
Déterminer les variations d’un polynôme de degré 2
Soit le polynôme de degré 2 défini sur par . Dresser le tableau de variations de .
Conseils
Identifiez les coefficients , et . Concluez à l’aide du signe de .
Solution
est un polynôme de degré 2 avec , et .
Ainsi, et .
Comme , nous avons le tableau de variations suivant :
Déterminer le signe d’un produit
À noter ! Le polynôme de degré 2 est ici écrit sous forme factorisée.
Soit le polynôme de degré 2 défini sur par . On admet que .
Pour quelle(s) valeur(s) de le polynôme est-il strictement négatif ?
Conseils
Étudiez le signe de chaque facteur et pensez à la règle des signes.
Solution
Le polynôme est un produit de deux fonctions affines : (, et (, ). Dressons le tableau de signes de chacune d’elles .
Pour la fonction affine , comme :
Pour la fonction affine , comme :
Utilisons la règle des signes pour obtenir le signe du polynôme :
est donc strictement négatif sur .