Connaître les propriétés des coefficients binomiaux

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Probabilités et échantillonnage
Corpus Corpus 1
Connaître les propriétés des?coefficients binomiaux

FB_Bac_99063_Mat1_S_043

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Rappels de cours

Nous considérons un schéma de Bernoulli de paramètres et représenté à l’aide d’un arbre, étant un entier naturel et un réel de [0?;?1].

? Pour tout entier le nombre de chemins sur l’arbre comprenant succès est le coefficient binomial noté qui se lit «? parmi ?».


 

exemple Un schéma de Bernoulli avec peut se représenter à l’aide de l’arbre ci-contre, S et E désignant les issues «?Succès?» et «?Échec?». Il permet de déterminer les coefficients binomiaux ?étant un entier

Il existe huit chemins possibles?:

SSS?; SSE?; SES?; SEE?; ESS?; ESE?; EES et EEE.

Un seul chemin, SSS, conduit à trois succès. Ainsi,

Un seul chemin, EEE, conduit à trois échecs (0 succès)?:

Trois chemins SSE?; SES?; ESS conduisent à deux succès?:

Trois chemins SEE?; ESE?; EES conduisent à un succès?:

À noter?!

Il s’agit là d’une

propriété de?symétrie.

? Pour tout entier

? Pour tout entier

Méthode

Calculer des coefficients binomiaux

1.?Compléter la ligne du triangle de Pascal ci-dessous?:

 

k

0

1

2

3

4

5

6

7

1

7

21

35

?

?

?

?

 

2.?En déduire la ligne correspondant à

Conseils

Utilisez la propriété de symétrie des coefficients binomiaux pour la 7e?ligne et la relation permettant de les déterminer de proche en proche pour la 8e?ligne. Regardez aussi le triangle Pascal (>?Rabats,?VI).

Solution

1.??; ?;?; 

La septième ligne du triangle de Pascal complétée est?:

 

k

0

1

2

3

4

5

6

7

1

7

21

35

35

21

7

1

 

2.? et ?: un seul chemin conduit à 0 succès et un seul à 8?succès.

?; ?;

?; .

Puis par symétrie,

La ligne correspondant à est ainsi?:

 

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

 

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