Connaître les propriétés des intégrales

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Corpus Corpus 1
Connaître les propriétés des intégrales

FB_Bac_98616_MatT_LES_027

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Rappels de cours

1Propriété de linéarité des intégrales

Soit un réel quelconque.

Si et sont deux fonctions continues sur , alors :

2Propriété de positivité des intégrales

Si est une fonction continue sur , et si est à valeurs positives sur cet intervalle, alors :

3Propriété de respect de l’ordre par intégration

Si et sont deux fonctions continues sur , et si sur , alors :

Méthodes

Utiliser la propriété de linéarité

Calculer .

Conseils

Trouver une primitive n’est pas évident : il n’existe pas de formule directement accessible.

  • Vérifier d’abord que, pour tout  :

.

  • Ensuite, on utilise la propriété de linéarité deux fois ; une première fois pour séparer le calcul en deux intégrales, une autre fois pour écrire les constantes 3 et 4 avant les intégrales.
Solution

D’où .

Utiliser la propriété de positivité

Quel est le signe de  ?

Conseils

La propriété de positivité indique que si une fonction est positive sur un intervalle, alors son intégrale l’est aussi. Cette propriété de conservation s’applique aussi à des fonctions négatives.

Solution

La fonction ln est négative sur , donc l’intégrale proposée est négative.

Utiliser la propriété de conservation de l’ordre

Montrer que pour tout entier naturel n :

.

Conseils

Cette propriété précise que si deux fonctions sont rangées dans un certain ordre sur un intervalle, leurs intégrales sont dans le même ordre. Mais, la réciproque est fausse !

La propriété de respect de l’ordre permet principalement d’obtenir une minoration, une majoration ou même un encadrement.

Solution

Pour tout entier naturel n, et pour tout , .

Comme , alors on en déduit .

On applique la propriété de respect de l’ordre sur  :

.

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