Connaître les propriétés des intégrales

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Corpus Corpus 1
Conna&icirc tre les propri&eacute t&eacute s des  int&eacute grales

FB_Bac_98616_MatT_LES_027

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Rappels de cours

1Propri&eacute t&eacute de lin&eacute arit&eacute des int&eacute grales

Soit un r&eacute el quelconque.

Si et sont deux fonctions continues sur , alors  :

2Propri&eacute t&eacute de positivit&eacute des int&eacute grales

Si est une fonction continue sur , et si est &agrave valeurs positives sur cet intervalle, alors  :

3Propri&eacute t&eacute de respect de l&rsquo ordre par int&eacute gration

Si et sont deux fonctions continues sur , et si sur , alors  :

M&eacute thodes

Utiliser la propri&eacute t&eacute de lin&eacute arit&eacute

Calculer .

Conseils

Trouver une primitive n&rsquo est pas &eacute vident  : il n&rsquo existe pas de formule directement accessible.

  • V&eacute rifier d&rsquo abord que, pour tout   :

.

  • Ensuite, on utilise la propri&eacute t&eacute de lin&eacute arit&eacute deux fois  une premi&egrave re fois pour s&eacute parer le calcul en deux int&eacute grales, une autre fois pour &eacute crire les constantes 3 et 4 avant les int&eacute grales.
Solution

D&rsquo o&ugrave .

Utiliser la propri&eacute t&eacute de positivit&eacute

Quel est le signe de   ?

Conseils

La propri&eacute t&eacute de positivit&eacute indique que si une fonction est positive sur un intervalle, alors son int&eacute grale l&rsquo est aussi. Cette propri&eacute t&eacute de conservation s&rsquo applique aussi &agrave des fonctions n&eacute gatives.

Solution

La fonction ln est n&eacute gative sur , donc l&rsquo int&eacute grale propos&eacute e est n&eacute gative.

Utiliser la propri&eacute t&eacute de conservation de l&rsquo ordre

Montrer que pour tout entier naturel n  :

.

Conseils

Cette propri&eacute t&eacute pr&eacute cise que si deux fonctions sont rang&eacute es dans un certain ordre sur un intervalle, leurs int&eacute grales sont dans le m&ecirc me ordre. Mais, la r&eacute ciproque est fausse  !

La propri&eacute t&eacute de respect de l&rsquo ordre permet principalement d&rsquo obtenir une minoration, une majoration ou m&ecirc me un encadrement.

Solution

Pour tout entier naturel n, et pour tout , .

Comme , alors on en d&eacute duit .

On applique la propri&eacute t&eacute de respect de l&rsquo ordre sur   :

.

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