Connaître les trois cas d’égalité des triangles

Merci !

Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer


Rappels de cours

1 Premier cas d’égalité des triangles

À savoir ! On dit que deux triangles sont égaux lorsqu’ils sont superposables.

Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement égaux, alors ces triangles sont égaux.

exemple Si BC = EF, ABC^=DEF^ et ACB^=DFE^, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que AB=DE, AC=DF et BAC^=EDF^.

02905_Figure_49_01

2 Deuxième cas d’égalité des triangles

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ces triangles sont égaux.

exemple Si BAC^=EDF^, AB=DE et AC=DF, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que ABC^=DEF^, ACB^=DFE^ et BC=EF.

02905_Figure_49_02

3 Troisième cas d’égalité des triangles

Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de même longueur, alors ces triangles sont égaux.

exemple Si AB=DE, AC=DF et BC=EF, alors les triangles ABC et DEF sont égaux. Nous pouvons en déduire que ABC^=DEF^, ACB^=DFE^ et BAC^=EDF^.

02905_Figure_49_03

Méthode

Comparer deux longueurs

Soit un triangle ABC isocèle en A.

On note I et J les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC] de ce triangle.

On note K le point d’intersection des droites (CI) et (BJ).

Construire une figure, puis comparer les distances CI et BJ.

conseils

Trouvez des triangles qui pourraient être égaux, puis appliquez le deuxième cas d’égalité des triangles.

 

Solution

02905_Figure_49_04

Considérons les triangles BIC et CJB. Nous savons que [BC] est un côté commun aux deux triangles.

Nous savons aussi que IBC^=JCB^ et que AB=AC puisque le triangle ABC est isocèle en A. Alors BI=AB2 et CJ=AC2 donc BI=CJ.

D’après le deuxième cas d’égalité, les triangles BIC et CJB sont égaux. En conséquence CI = BJ.

Conclusion : les distances CI et BJ sont égales.