Construction et équation réduite d'une tangente

A Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur (rappel)

Coefficient directeur

Soit la droite d'équation $y=mx+p$ dans un repère $\left(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$, m est le coefficient directeur de et p est l'ordonnée à l'origine de .

Expression du coefficient directeur m d'une droite passant par deux points donnés.

Soit ${\text{M}}_1\left(x_1,y_1\right)$ et ${\text{M}}_2\left(x_2,y_2\right)$ deux points de d'abscisses différentes : alors $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Une méthode pour construire une droite passant par un point donné A et dont le coefficient directeur m est donné. À partir du point $\text{A}\left(x_{\text{A}},y_{\text{A}}\right)$ de la droite , d'équation $y=mx+p$, on obtient un deuxième point B de la droite en ajoutant 1 à l'abscisse A et m à l'ordonnée de A : $x_{\text{B}}=x_{\text{A}}+1$ et $y_{\text{B}}=y_{\text{A}}+m$.

B Construire la tangente à une courbe en un point

On remplace dans la méthode du A m par $f^{\prime }\left(a\right)$ le coefficient directeur de la tangente.

À partir du point donné $\text{A}\left(x_{\text{A}},y_{\text{A}}\right)$ où $y_{\text{A}}=f\left(x_{\text{A}}\right)$, on obtient un deuxième point B de la tangente en ajoutant 1 à l'abscisse de A et $f^{\prime }\left(x_{\text{A}}\right)$ à l'ordonnée de A : $x_{\text{B}}=x_{\text{A}}+1$ et $y_{\text{B}}=y_{\text{A}}+f^{\prime }\left(x_{\text{A}}\right)$.

C Équation de la tangente en un point à la courbe représentative de f

Équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction au point d'abscisse a

y = f′(a)(x – a) + f(a).

EXEMPLE

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x² – x – 1.

On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a = 1. Une équation de la tangente est donc : y = f′(1) (x – 1) + f(1).

f(1) = 2 – 1 – 1 = 0.

Pour calculer f′(1) il faut d'abord déterminer f′(x).

Pour tout x de ℝ, f′(x) = 2(2x) – 1, f′(x) = 4x – 1. D'où f′(1) = 3.

L'équation de la tangente est donc : y = 3(x – 1) + 0 ; y = 3x – 3.