Construction et équation réduite d’une tangente (1re, Tle)

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Fiches
Classe(s) : Séries tertiaires - Séries industrielles | Thème(s) : Dérivation

A Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur (rappel)

Coefficient directeur

Soit la droite d’équation y=mx+p dans un repère (O;i,j), m est le coefficient directeur de et p est l’ordonnée à l’origine de .

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Expression du coefficient directeur m d’une droite passant par deux points donnés

Soit M1(x1,y1) et M2(x2,y2) deux points de d’abscisses différentes : alors m=y2y1x2x1.

Une méthode pour construire une droite passant par un point donné A et dont le coefficient directeur m est donné

À partir du point A(xA,yA) de la droite , d’équation y=mx+p, on obtient un deuxième point B de la droite en ajoutant 1 à l’abscisse A et m à l’ordonnée de A : xB=xA+1 et yB=yA+m.

B Construire la tangente à une courbe en un point

On remplace dans la méthode ci-dessus m par f(a) le coefficient directeur de la tangente.

À partir du point donné A(xA,yA)yA=f(xA), on obtient un deuxième point B de la tangente en ajoutant 1 à l’abscisse de A et f(xA) à l’ordonnée de A : xB=xA+1 et yB=yA+f(xA).

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C Équation de la tangente en un point à la courbe représentative de f

Équation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction au point d’abscisse a

y f(a)(x a) + f(a).

EXEMPLE

Soit f la fonction définie sur
par f(x) = 2x2x – 1.

On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse a = 1. Une équation de la tangente est donc : yf′(1) (x – 1) + f(1).

f(1) = 2 – 1 – 1 = 0.

Pour calculer f′(1), il faut d’abord déterminer f′(x).

Pour tout x de
, f′(x) = 2(2x) – 1, f′(x) = 4x – 1. D’où f′(1) = 3.

L’équation de la tangente est donc : y = 3(x – 1) + 0 ; y = 3x – 3.

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